Le digicode de Juliette
Aujourd’hui, je vous propose une énigme de mon cru déjà publiée il y a quelques semaines sur un autre blog. Elle n’est donc pas 100% inédite (mais je vous ai déjà fait le coup il y a un mois et demi et personne n’a râlé, alors je réitère).
Les « énigmes de digicode » sont parmi les premiers défis ludiques que j’ai pu créer, il y a 15 ans. Aussi est-il très probable que je vous en propose de nouvelles de temps à autre. Je vais même créer un mot-clef dédié, tiens !
⭐
Juliette discute avec Roméo :
« Mon digicode a quinze touches : dix chiffres (0 à 9) et cinq lettres (A à E).
Mon code se présente sous la forme
.
Les quatre chiffres (
) sont différents,
etreprésente la lettre.
J’ai remarqué que :
et que :
»
Roméo fait remarquer à son amie que cela ne suffit pas pour connaître les chiffres composant le code.
« C’est vrai, mais je ne comptais pas te donner mon code ! » ricane Juliette. « Attention, si le code que tu tapes est faux, cela alerte le gardien ! »
Roméo rumine un instant et lui fait la remarque suivante :
« De toute façon, je ne connais pas la lettre… »
Juliette, trop bavarde, lâche :
« Moi, je me rappelle de la lettre très facilement; il me suffit de me souvenir que « son rang dans l’alphabet correspond à l’un des chiffres ». Grâce à ça, je ne me trompe jamais. »
A la stupéfaction de Juliette, Roméo lui annonce alors son code.
Question : quel est le code de Juliette ?
Pour les lecteurs qui ont des problèmes à distinguer certaines couleurs, voici reproduites les deux affirmations de Juliette en utilisant les initiales des couleurs (J pour jaune, B pour bleu, M pour mauve et V pour violet).
- « Mon code se présente sous la forme JB●MV. »
- « J’ai remarqué que 10J+B=2M+2V et que J+M=B+V »
J’anticipe tout de suite les objections : oui, Roméo calcule particulièrement vite, le saligaud. Et de tête, en plus, le bougre ! Ceci étant, la résolution du problème nécessite bien de jouer avec les équations, mais beaucoup moins qu’on pourrait le craindre (transformer les deux égalités en une seule, une seule fois, peut suffire). Mais oui, oui, il est sacrément rapide. J’en ai connu un, comme ça. Il a mal fini (quoique, puisqu’il est toujours avec sa Juliette).
Bref ! N’hésitez pas à proposer vos pistes de solution dans les commentaire (voire d’y poster votre solution, à la condition de précéder celle-ci d’une mention du type [eurêka !] ou [spoiler])… Pour peu que votre ordinateur supporte les caractères spéciaux « émojis », vous devriez pouvoir utiliser ceux-ci (💛💙🔴💜💚) dans les commentaires. Je n’ai pas pu essayer, vous me direz si ça fonctionne… Sinon, vous pouvez utiliser les initiales proposées ci-dessus.
J’ai programmé la publication automatique de la solution pour jeudi 6 août, 8h00 (les commentaires sous l’énigme seront fermés après publication de la solution).
Bon jeu !
[Eurêka !]
A y est, j’ai trouvé. Le plus dur n’étant pas de trouver la solution, mais de se convaincre que le problème était bien posé.
(Et merci pour la version « problème de couleurs » ^^)
Bravo !
(Et il n’y pas de quoi ! ^^)
[Eureka !] aussi
pour detailler ma résolution :
je bidouille les equations => 11J = M+3V et B = J+M-V
d’ou 11J< 36 (M et V la fameuse lettre
d’ou 3 0 C 6 9
Oula, c’est mal passé
je recommence
je bidouille les equations => 11J = M+3V et B = J+M-V
d’ou 11J< 36 (M et V CQFD
d’ou 3 0 C 6 9
4 ème essai, en esperant que mon commentaire ne se fasse pas inexplicablement découper c’coup ci…..
je bidouille les equations => 11J = M+3V et B = J+M-V
d’ou 11J inférieur à 36 (M et V inférieurs à 9)
bestialement j’obtient 2 combinaisons de M et V acceptables pour chaque valeur de J, soit 6 au total
dans ces 6 une seule ne contient qu’un chiffre entre 1 et 5. CQFD
d’ou 3 0 C 6 9
et 18A81 ?
bah les 4 chiffres ne sont pas différents, donc j’ai éliminé d’office cette solution
Etienne : il faut que tous les chiffres soient différents 😉
[SPOILER]
Sinon, je trouve la même réponse que les autres 😉
bizarre, les commentaires se font amputer au milieu
je disais
d’ou 11J< 36 (M et V CQFD
d’ou 3 0 C 6 9
Oui, c’est bizarre… pas mal de commentaires sont tronqués. Peut-être un conflit avec des émojis ? Ou les guillemets ? (énigme dans l’énigme !)
[spoiler]
Joli problème car on tourne en rond avant de comprendre que la solution vient du 0 ! 😀 La clef est le fait qu’il existe un chiffre et un seul entre 0 et 5. Par élimination …
J = 3
M = 6
B = 0
V = 9
Lettre C
Merci 😉 Ravi que les énigmes de digicode vous plaisent ! J’en ai programmé une épineuse pour courant septembre… Je vous la promets « arrache-cheveux » à souhait 🙂 !
Hmmm, oui…
« un chiffre et un seul entre 0 et 5 » dites-vous ; et vous en identifiez combien, vous, des chiffres situés entre 0 et 5 dans la combinaison 30C69 ? (indice : moi, j’en identifie 2…).
En fait, c’est « un chiffre et un seul entre 1 et 5 », puisque le 0 peut être présent concurremment avec un chiffre entre 1 et 5, sans entraîner d’incertitude sur la lettre.
[Eureka !] Egalement
Avec une résolution différente. Je suis bien sûr aussi arrivé à 11J = M+3V et B+V = J+M, mais j’ai par ailleurs J <= 5 (inférieur ou égal).
Pourquoi ? Car il faut une lettre qui soit entre A et E, et qu'un numéro du code et un seul corresponde à sa position dans l'alphabet (sinon l'énigme est insoluble pour la lettre). Par conséquent, je pose J <= 5 car c'est la couleur avec le plus gros coefficient dans l'équation, et donc nécessairement celle qui aura la plus petite valeur. En jouant avec les coefficient 11 et 3 et les chiffres possibles sur le cadran, on arrive aisément à 3, 6, et 9, et donc la dernière couleur qui vaut 0. La lettre, elle, est C qui correspond au chiffre 3.
Voila, c'est un peu d'instinct et pas strictement avec des équations mais ce fut ma démarche. Temps de résolution : moins de 2 minutes 🙂
[Spoiler]
Je suis assez bourrin là dessus, mais bon, au final j’ai le résultat…
Pour commencer, 10a+b = 2c+2d montre que 10a+b est pair.
De plus le nombre maximum possible pour 10a+b est (9+8)*2 = 34.
Donc l’ensemble des combinaisons possibles pour 10a+b donnent un nombre pair compris entre 0 et 34.
Pour chacun de ces nombre pair, il n’y a qu’une possibilité, par exemple 26 c’est forcément 10*2 + 6. Se faisant on supprime 00 et 22 qui prennent deux fois le même chiffre.
C’est là qu’on commence à bourriner : pour chacun de ces nombre, on prend toutes les combinaisons de deux nombre différents tels que 10a+b = 2c+2d, heureusement on n’en a plus tant que ça vu qu’on a limité largement les possibilités pour les deux premiers chiffres.
2 : (0+1)*2 ; 0*10 + 2 ; Pas possible
4 : (0+2)*2 ; 0*10 + 4 ; Pas possible
6 : (0+3)*2,(1+2)*2 ; 0*10 + 6 ; 1 solution (0,6,1,2)
8 : (0+4)*2,(1+3)*2 ; 0*10 + 8 ; 1 solution (0,8,1,3)
10 : (0+5)*2,(1+4)*2,(2+3)*2 ; 1*10 + 0 ; 1 solution (1,0,2,3)
12 : (0+6)*2,(5+1)*2, (4+2)*2 ; 1*10 + 2 ; 1 solution (1,2,0,6)
14 : (0+7)*2,(6+1)*2, (5+2)*2, (4+3)*2 ; 1*10 + 4 ; 2 solutions (1,4,0,7),(1,4,5,2)
16 : (0+8)*2,(7+1)*2, (6+2)*2, (5+3)*2 ; 1*10 + 6 ; 2 solutions (1,6,0,8),(1,6,5,3)
18 : (0+9)*2,(8+1)*2, (7+2)*2, (6+3)*2, (5+4)*2 ; 1*10 + 8 ; 4 solutions (1,8,0,9),(1,8,7,2), (1,8,6,3),(1,8,5,4)
20 : (9+1)*2, (8+2)*2, (7+3)*2, (6+4)*2 ; 2*10 + 0 ; 3 solutions (2,0,9,1),(2,0,7,3),(2,0,6,4)
24 : (9+3)*2, (8+4)*2, (7+5)*2 ; 2*10 + 4 ; 2 solutions (2,4,9,3),(2,4,7,5)
26 : (9+4)*2, (8+5)*2, (7+6)*2 ; 2*10 + 6 ; 2 solutions (2,6,9,4),(2,6,8,5)
28 : (9+5)*2, (8+6)*2 ; 2*10 + 8 ; 1 solution (2,8,9,5)
30 : (9+6)*2, (8+7)*2 ; 3*10 + 0 ; 2 solutions (3,0,9,6),(3,0,8,7)
32 : (9+7)*2 ; 3*10 + 2 ; 1 solution (3,2,9,7)
34 : (9+8)*2 ; 3*10 + 4 ; 1 solution (3,4,9,8)
Pour chaque solution, je garde en tête que les deux derniers chiffres sont interchangeables.
Maintenant on ne garde plus que les possibilités telles que a+c=b+d. Pour cette formule on interchange c et d si besoin.
(0,6,1,2) non
(0,8,1,3) non
(1,0,2,3) oui
(1,2,0,6) non
(1,4,0,7) non
(1,4,5,2) oui
(1,6,0,8) non
(1,6,5,3) non
(1,8,0,9) non
(1,8,7,2) non
(1,8,6,3) non
(1,8,5,4) non
(2,0,9,1) non
(2,0,7,3) non
(2,0,6,4) non (2,0,4,6) oui
(2,4,9,3) non
(2,4,7,5) oui
(2,6,9,4) non
(2,6,8,5) non
(2,8,9,5) non
(3,0,9,6) non (3,0,6,9) oui
(3,0,8,7) non
(3,2,9,7) non
(3,4,9,8) oui
Il reste une petite liste de possibilités :
(1,0,2,3)
(1,4,5,2)
(2,4,7,5)
(3,4,9,8)
(2,0,4,6)
(3,0,6,9)
C’est là qu’intervient la dernière phrase de Juliette : toutes ces combinaisons ont au minimum deux chiffres qui correspondent à une des lettres du digicode sauf la dernière qui n’en possède qu’une : le 3.
Le moyen mnémotechnique de Juliette permet d’éliminer tous les autres,
Roméo n’a plus qu’à taper 3 0 C 6 9 pour rentrer chez les Capulet.
[Eurékâ]
Les combinaisons suivantes satisfont à l’énonce:
10A23
14A52
18A81
20B46
24B75
30C69
34C98
La réponse devient unique (30C69) en modifiant légèrement l’énoncé de manière à exprimer le fait qu’un seul des quatre chiffres ne peut correspondre à une lettre. En d’autres mots, qu’un seul des chiffres 1,2,3,4,5 peut faire partie du digicode (éventuellement répété), limitation qui n’est pas incluse stricto sensu dans l’énoncé original.
Erratum:
Il y a en réalité deux solutions parfaitement valides: 30C69 et 18A81.
À ceci près que l’énoncé précise : « les quatre chiffres sont différents ». Restons donc sur la jolie résolution du haut 🙂
Merci pour l’explication, encore une fois je n’ai pas trouvé la bonne solution. Ceci a ma mauvaise lecture de l’énoncé, pour moi la solution est :
10A23 ou le A correspond au 1 la bonne place de la lettre dans l’alphabet.
Eh oui ça marche on dirait !
18A81 est non valable, relisez l’énoncé : tous les chiffres sont différents
On mixant les équations on a 11J=M+3V et 9B=12M-8V.
D’une part M+3V = 11, 22 ou 33 (M+3V J = 1, 2 ou 3
D’autre part 12M-8V=132J-44V doit être divisible par 9 et >0
=> seule possibilité V=3J et B=0
Si J=1 alors V=3, on ne peut connaître le code car la lettre correspond à 2 chiffres (les lettres vont de A à E donc de 1 à 5).
Si J=2 alors V=6 et M=4, on ne peut connaître le code car la lettre correspond à 2 chiffres (les lettres vont de A à E donc de 1 à 5).
La seule solution qu’aurait pu trouver notre ami Roméo est J=3, B=0, Lettre=C~3, M=6 et V=9.
[Spoiler]
3 0 C 6 9
11J =M+3V avec M et V <= 9 donc 11J <= 35
on test J avec 1,2 et 3 avec B = J+M-V
et une seul lettre entre 1 et 5
on obtient très vite 30C69
2046 était également valide.
Mais nous laissait dans le flou pour la lettre
J’ai personnellement choisi de le faire de tête sans fusionner les calculs, en trifouillant un peu parmi les possibilités (sachant par exemple que dans le premier calcul, la deuxième partie de la formule est forcément paire, par exemple ; ou le fait qu’un seul chiffre soit logiquement compris entre 1 et 5)
Du coup, après quelques minutes douloureuses, même réponse que pour Syd0, on peut se coucher en paix.
[spoiler]
J’ai cru que j’allais pouvoir entrer le code sur le digicode et que ça allait me stupéfier !
Plus sérieusement, merci pour l’énigme, j’ai tatonné à partir de l’équation 9x = b+3a, en sachant que x était forcément compris entre 1 et 5.
3 0 C 6 9
L’énoncé est incomplet tel que décrit actuellement : de multiples solutions satisfont les relations proposées (24B75, 34C89, 34D89, etc.).
Trop fastoche:
30 c’est le nombre de l’amour, tout le monde sait ça:
quant à « c 69 » je laisse les décodeurs de SMS imaginer !
A défaut de la solution la plus courte j’ai une explication du titre de l’énigme, à quoi pensait le rédacteur qui connaît la solution en l’appelant le Digicode de Juliette?
[Eurêka !]
Je pense avoir pris un long chemin………
Remplacer b dans la 1ère équation puis faire un 11j-10j=j
on obtient j=v-m
remplacer j dans la 2ème équation de départ pour trouver que b=0 !
comme v=j+m , remplacer v dans la 1ère équation,
pour trouver m=2j
dans la 2ème équation de départ on trouve maintenant que v=3j
Pour récap. les 2 équ. sont vraies pour.: b=0; m=2j; v=3j avec ces valeurs:
J,M,V
1,2,3
2,4,6
3,6,9
mais avec la condition de la fameuse lettre (seul 1 chiffre doit être <=5), c'est 3,6,9
*code complet: 30C69
Nous avons 10jaunes + 1bleu =2violets + 2verts
Et
1bleu = 1jaune +1viokey -1vert
En remplaçant bleu dans la 1 ère équation, on obtient : 11jaunes = violet +3 verts
Soit 1 violet = 11jaunes – 3 verts
En remplaçant ce violet dans la seconde équation : 1bleu = 12jaunes – 4 verts et cela doit être inférieur à 9 puisque c’est la touche la plus grande. Donc 12jaunes – 4verts inférieur ou égal a 9 doit 1jaune est inférieur ou égal a 3.
D’où l’on tire également en mettant dans la troisième équation que le violet est forcément inférieur ou égal à 6
En prenant le jaune et le violet à leur valeur maximal pour essayer, on obtient ainsi :
Jaune = 3
Violet =6
Vert = 9
Bleu = 0
Donc la seul lettre qui se situe en 1 et 5 est la valeur du jaune soit 3 soit la lettre C
D’où un code : 30C69
Eureka
Je propose 14E52
« Moi, je me rappelle de la lettre très facilement; il me suffit de me souvenir que « son rang dans l’alphabet correspond à l’un des chiffres ». Grâce à ça, je ne me trompe jamais. »
Je suis désolé, mais cette phrase ne signifie pas qu’il n’y a qu’un seul chiffre entre 1et 5.
La solution pourrait être 14A52, et Juliette se souviendrait facilement du code car la lettre correspond à l’un des chiffres, plus particulièrement le premier chiffre (moyen mnémotechnique facile).
=> l’énoncé n’est franchement pas clair.
Décu!
@Tareguof : Si, justement, il y a les guillemets qui sont très bien placées. Elle dit : « Moi, je me rappelle de la lettre très facilement; il me suffit de me souvenir que « son rang dans l’alphabet correspond à l’un des chiffres ». Grâce à ça, je ne me trompe jamais. »
Ca veut dire qu’elle n’a qu’a se souvenir du morceau de phrase « son rang dans l’alphabet correspond à l’un des chiffres » + qu’elle ne se trompe JAMAIS, avec ce seul mantra.
Le « jamais » est là pour dissiper les doutes. Cette énigme est vraiment très maline, mais il faut la lire avec attention ! Merci 🙂
Je conteste ^^
On peut interpréter sa phrase de différentes facon:
-celle qui semble plus communément acceptée (mais je n’arrive vraiment pas a comprendre pourquoi!) qui est qu’il n’y a qu’un seul chiffre entre 1 et 5,
-ou une autre qui est qu’un des chiffres du code (peu importe lequel, ca peut etre le premier parce que c’est le premier, ou le 3eme parce qu’elle habite dans le département Allier, ou le 4eme parce qu’ils sont 4 freres et soeur dans sa fratterie etc…) correspond à sa lettre.
Pour ma part, je m’attendais à trouver deux (ou plus) solutions: l’une (ou plus) avec que des chiffres entre 5 et 9, et donc aucune lettre possible.
Et une unique solution avec un chiffre entre 1 et 5 qui serait donc le chiffre de la lettre et le reste entre 6 et 9.
Dans ce cas, ca aurait été une belle énigme.
Là, je suis décu.
Ben oui multiples possibilités pour les chiffres X4 pour les lettres p.e. J=2, B=4, M=7, V=5. Quant à la lettre dans ce cas c’est B D G ou E… Pauvre Roméo! De toute façon leur histoire était vouée à l’échec .
@Violette Elle dit n’avoir à se souvenir que d’une chose « son rang dans l’alphabet correspond à l’un des chiffres », et dit que grâce à cette phrase, elle ne se trompe JAMAIS. Je ne vois pas où est l’ambiguïté, le code ne peut être QUE 30C69 !
Eureka !
30C69
Alors ma solution:
10.J+B = 2.M+2.V => 10.J+B-2.M-2.V = 0
J+M = B+V => B = J+M-V, ce qui combiné avec la fonction ci-dessus donne:
11.J = M + 3.V (2)
M, V appartenant à [0..9], on maximise les deux valeurs: Round((9 + 3×9)/11) = 3, et on en déduit que J Solutions invalides, car on ne peut décider la lettre
* J = 2; M = 22 – 3.V, deux solutions V = 5; M = 7 et V = 6; M = 4
=> Solutions invalides, pour la même raison que ci-dessus
* J = 3; M = 33 – 3.V, deux solutions encore V = 8; M = 9 et V = 9; M = 6
=> Les deux solutions semblent possibles, calculons donc B
Sol1: J = 3, V = 8, M = 9, B = 4
=> Deux valeurs comprises entre 1 et 5, donc non décidable
Sol2: J = 3, V = 9, M = 6, B = 0
=> OK, la lettre est donc C (3ème position)
=> Le code est donc 30C69
Round((9 + 3×9)/11) ? donc en posant que m=9 et j=9? or dans l’énoncé c’est bien marqué que tous les chiffres sont différents
@justin: Exemple typique de « triche ^^ » qui aboutit a la conclusion qu’il n’y a qu’un seul chiffre entre 1 et 5!!!
@jérome Attention, dans votre raisonnement, vous considerez « Solutions invalides, car on ne peut décider la lettre ». Mais vous considerez cela parce que Romeo a été capable de trouver la solution.
Vous utilisez donc une information que Romeo n’avait pas 😉
En l’occurrence, vu votre raisonnement, si vous vous mettez à la place de Romeo, vous n’etes pas capable de trouver la solution. Donc Romeo n’aurait pas du pouvoir trouver la solution (pas plus que vous du coup).
@Tareguof Le « je ne me trompe jamais » donnait l’info, où est la triche ? 🙂 Pour moi, c’est cette astuce qui rend l’énigme jolie.
OK…
Nevermind.