[solution] Le digicode de Juliette

Attention ! Ce billet donne la solution à cette énigme ! Essayez de la résoudre avant de lire le texte qui suit, ne vous privez pas du plaisir de la découverte !

Bravo ! Vous n’avez eu aucun mal à élucider cette première énigme de digicode !

Il y a plusieurs façons d’en venir à bout. En voici une assez rapide (elle peut sembler longue, mais elle est surtout très détaillée).

Étape 1

Transformons les deux affirmations de Juliette en équations facile à manipuler :

• 10J+B=2M+2V
• J+M=B+V

La seconde peut également s’écrire :

• B=J+M–V

Si on remplace B par « J+M–V » dans la première équation, on obtient :

• 10J+J+M–V=2M+2V

Ce qui équivaut très exactement à :

• 11J=M+3V

De cette nouvelle équation, on peut presque déduire le code de Juliette. Nous allons voir comment.

Étape 2

On remarque tout d’abord que J est strictement supérieur à 0 (sinon quoi M+3V devraient également valoir 0, ce qui est proscrit par l’énoncé : tous les chiffres sont différents).

Pour déduire la valeur maximale de J, on postule que M et V sont les chiffres les plus grands disponibles. Or, la valeur la plus importante que l’on peut obtenir à droite de l’équation (sans l’égaliser) est 8+3x9=35. J ne vaut pas plus que 3.

Mais pourquoi nous arrêter en si bon chemin ? On sait que la partie droite de l’équation doit être un multiple de 11 : 11, 22 ou 33.

En égalisant notre équation, on peut effectivement obtenir 33 de deux façons (6+3x9 ou 9+3x8; j’avais initialement oublié de mentionner cette dernière, heureusement que vous êtes vigilants ! Merci à Thierry !). En diminuant progressivement la valeur de V, on voit qu’il est possible d’obtenir 22 de trois façon (1+3x7 ; 4+3x6 ; 7+3x5), de même que 11 (2+3x3 ; 5+3x2 ; 8+3x1).

En d’autres termes, seules sept huit seules solutions plausibles pour J, M et V à ce stade  :

• J=3 ; M=6 ; V=9
• J=3 ; M=9 ; V=8
• J=2 ; M=1 ; V=7
• J=2 ; M=4 ; V=6
• J=2 ; M=7 ; V=5
• J=1 ; M=2 ; V=3
• J=1 ; M=5 ; V=2
• J=1 ; M=8 ; V=1… que l’on exclut immédiatement, car J=V !

Étape 3 et 4

De l’équation J+M=B+V, on déduit la valeur de B pour les six sept propositions restante :

• J=3 ; M=6 ; V=9 ; B=0
• J=3 ; M=9 ; V=8 ; B=4
• J=2 ; M=1 ; V=7 ; B=-4 (exclue, car inférieur à 0)
• J=2 ; M=4 ; V=6 ; B=0
• J=2 ; M=7 ; V=5 ; B=4
• J=1 ; M=2 ; V=3 ; B=0
• J=1 ; M=5 ; V=2 ; B=4

Il nous reste seulement cinq six propositions possibles :

• J=1 ; M=2 ; V=3 ; B=0
• J=1 ; M=5 ; V=2 ; B=4
• J=2 ; M=4 ; V=6 ; B=0
• J=2 ; M=7 ; V=5 ; B=4
• J=3 ; M=9 ; V=8 ; B=4
• J=3 ; M=6 ; V=9 ; B=0

Mais souvenez-vous : Juliette se contente d’une astuce mnémotechnique très simple : le rang de la lettre dans l’alphabet correspond à l’un des chiffres, grâce à quoi « [elle] ne [se] trompe jamais. » Il est important de noter qu’elle ne prend pas la peine de retenir une information plus détaillée. « Un des chiffres = le rang de la lettre » lui suffit à ne pas se tromper.

Si l’on prend les quatre cinq premières propositions listées ci-dessus, Juliette prendrait le risque de se tromper, car plusieurs lettres pourraient correspondre à son clavier. Dans le premier cas : A, B ou C. Dans le second, A, B, D ou E. Dans le troisième, B ou D. Dans le quatrième, B, D ou E. Dans le cinquième, C et D. Mais, on l’a dit, elle ne se trompe jamais.

Seule la dernière proposition ne permet aucune ambiguïté : la seule lettre dont le rang dans l’alphabet correspond à un chiffre est la lettre C. Le code de Juliette est donc : 30C69. Ce qu’a compris Roméo, qui calcule quand même vachement vite.

Et voilà ! Encore bravo à tous ceux qui ont dénoué l’écheveau.

A lundi prochain 16h00 pour une nouvelle énigme !

Ludiquement vôtre;

@Curiolog