Deux digicodes
Bonjour !
Après une énigme à l’énoncé très court, voici livré son parfait opposé…
C’est un défi d’apparence compliquée, que je vous engage toutefois à essayer de résoudre. Amusez-vous bien !
*
Léon Dem a donné rendez-vous à ses amis Fulgence et Edmond pour qu’ils se rencontrent, à l’occasion d’un brunch (note : cette énigme est indépendante de cette autre impliquant les mêmes personnages). Il est venu sur place accompagné d’une autre amie, Garance, qui n’a jamais rencontré les deux hommes.
Une nappe en papier est dressée sur la table autour de laquelle se sont assis les quatre convives… Aïe, se disent Fulgence, Edmond et Garance : il y a de grandes chances que Léon lance une de ses énigmes « à résoudre sur un coin de nappe » !
Et ça ne manque pas. Durant la conversation, Léon consulte son carnet pour vérifier quelque chose, et trouve inscrit les codes des portes des immeubles de Fulgence et Edmond. Il propose alors d’essayer de faire deviner ces codes, en donnant le moins d’indications possibles.
Le premier qui trouve le code de l’autre doit le dire.
Après avoir souligné que les deux digicodes possèdent douze touches (dix chiffres de 0 à 9 et deux lettres, A et B), Léon lance :
« Je peux tout d’abord dire que le code de Fulgence n’a aucune touche (chiffre ou lettre) commune avec celui d’Edmond« , débute-t-il. « Et pour chaque code, les quatre touches pressées sont différentes (aucun chiffre ou lettre n’est présent plus d’une fois dans un code). »
Edmond, Fulgence et Garance griffonnent quelques signes sur leur coin de nappe en papier, sans laisser les autres regarder. Léon sourit, et poursuit :
« Je remarque aussi que le produit des valeurs numériques de l’ensemble des touches pressées dans un code est le même pour l’autre code. Par « valeur numérique », je veux dire que si un A ou un B est utilisé, on considère que leur valeur est celle de leur rang dans l’alphabet, soit respectivement 1 et 2.
Les amis de Léon prennent note. Se grattant la tête à la recherche d’une troisième information utile, Léon propose bientôt :
« Si on additionne la valeur de la première touche du code de Fulgence à celle de la première touche du code d’Edmond, on obtient le même résultat qu’en effectuant l’opération avec les deuxièmes touches de ces codes. »
– Tout cela n’aide pas vraiment, remarque Fulgence.
– Il faudrait trouver d’autres propriétés remarquables à ces digicodes, encourage Garance. Par exemple, le produit des valeurs numériques de l’ensemble des touches pressées dans chaque code, dont tu nous a parlé… Est-ce que sa valeur est remarquable ? Sûrement, tu me diras, il y a toujours quelque chose à dire d’un chiffre… Mettons : s’agit-il d’un carré parfait (le carré d’un nombre entier) ?
– Non, déplore Léon.
– Bon. Et est-ce que, prise dans son ensemble, la phrase suivante est vraie : « Une lettre est présente dans chaque code, et ces lettres se trouvent à la même position dans chaque code » ?
– Non, s’excuse Léon, ta phrase est fausse.
– Mmm, s’agace-t-elle. Et ta réponse n’exclut pas le fait qu’il y ait bien une lettre dans chaque code, j’en ai bien conscience…
Elle rumine un instant, avant de proposer :
– Et, mettons que j’additionne la valeur numérique de l’ensemble des touches de l’un des codes, et que je compare cette somme à celle que obtenue en effectuant la même opération sur l’autre code… observes-tu une propriété intéressante ? Par exemple, les deux nombres obtenus sont-ils consécutifs ?
– Non, ils ne le sont pas, désolé », poursuit Léon. « Décidément, tu n’as pas le nez creux ! »
Chacun récapitule de son côté les informations données par Léon sur son coin de nappe en papier, sans bien sûr parvenir à conclure. De là où il est, Léon constate au bout d’une demi-douzaine de minutes que ses trois amis ont, jusqu’à présent, réalisé les mêmes déductions.
– Je constate avec vous que toutes ces indications, trop vagues, sont insuffisantes pour trouver la solution. Mais… Attendez, peut-être que celle-ci vous aidera : la somme de la valeur des trois premières touches du code d’Edmond est égale à la somme de la valeur des trois dernières touches du code de Fulgence.
Garance, Fulgence et Edmond jettent un nouveau coup d’œil aux notes inscrites sur leur coin de nappe. Edmond et Fulgence relèvent la tête, pour se dévisager longuement. Au bout d’une vingtaine de secondes, aucun n’a encore pipé mot…
– Je connais vos codes ! s’exclame soudain Garance.
Edmond et Fulgence s’esclaffent, s’apercevant que chacun connait désormais, également, le code de l’autre.
La question est : quels sont les codes d’Edmond et de Fulgence ?
*
Avec la méthode adéquate, un papier et un crayon, la solution peut être trouvée en quelques minutes… Je vous donne toutefois un conseil : « cherchez rapidement à prouver que ce n’est pas neuf ».
[eureka]
Edmond : 89A1
Fulgence : 3B62
[eureka]
euh, non, l’inverse !
Edmond : 3B62
Fulgence : 89A1
[eureka]
On cherche donc 2 codes à 4 caractères avec 8 caractères différents à trouver parmi { 0 , 1 , … , 8 , 9 , A , B }.
« Le produit des valeurs numériques de l’ensemble des touches pressées dans un code est le même pour l’autre code » entraîne :
– pas de 0, de 5 ou de 7 dans aucun des codes,
– au moins un chiffre pair dans chaque code,
– la liste des caractères possibles devient { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , A , B }, 1 élément reste à éliminer.
« Le produit des valeurs numériques de l’ensemble des touches pressées dans chaque code n’est pas un carré parfait » entraîne :
– Les éléments A, 1, 4 sont obligatoires car s’il en manque un, les puissances de 2 et de 3 du produit sont paires et le carré est parfait,
– l’élément 9 est obligatoire car s’il manque, les puissances de 2 et de 3 du produit sont paires et le carré est parfait.
« Le produit des valeurs numériques de l’ensemble des touches pressées dans un code est le même pour l’autre code » entraîne :
– Si 9 est dans un code, alors 6 et 3 sont ensembles dans l’autre pour égaliser les puissances de 3,
– on trouve aussi que A et 1 doivent être ensembles avec 9,
– puis, on trouve que 4 ne peut être placé nulle part,
– au final, on a { A , 1 , 8 , 9 } pour un code et { B , 2 , 3 , 6 } pour l’autre.
« La somme des valeurs des premières touches des 2 codes est identique à celle des deuxièmes touches de ces codes », on trouve les combinaisons possibles suivantes :
A1xx 2Bxx
1Axx B2xx
98xx B3xx
98xx 23xx
89xx 3Bxx
89xx 32xx
« La somme de la valeur des trois premières touches du code d’Edmond est égale à la somme de la valeur des trois dernières touches du code de Fulgence », on réduit les combinaisons possibles :
Edmond Fulgence
A198 2B36
A198 2B63
1A98 B236
1A98 B263
3B62 891A
3B62 89A1
326B 89A1
« Edmond et Fulgence relèvent la tête, pour se dévisager longuement »
Les 2 personnes, connaissant leur propre code, gardent une ambiguité sur le code de l’autre puisque aucun ne parle. Notamment Fulgence, pour qui une ambiguité persiste pour le code 89A1. Donc c’est son code. Edmond ne peut pas avoir 326B car aucune ambiguité n’existe pour ce code et il aurait parlé. Donc Edmond a 3B62 comme code (qui a bien une ambiguité). Garance a bien vu cette double ambiguité chez les 2 personnes et a trouvé elle aussi cette seule possibilité.
oops, je viens de m’apercevoir que j’ai confondu « Le produit des valeurs numériques de l’ensemble des touches pressées d’un code » avec « Le produit des valeurs numériques de l’ensemble de toutes les touches pressées (les 2 codes) » pour le carré parfait
à refaire !
[eureka]
bon, à force, on va y arriver.
La réponse est la même mais la démonstration différente.
On cherche donc 2 codes à 4 caractères avec 8 caractères différents à trouver parmi { 0 , 1 , … , 8 , 9 , A , B }.
« Le produit des valeurs numériques de l’ensemble des touches pressées dans un code est le même pour l’autre code » entraîne :
– pas de 0, de 5 ou de 7 dans aucun des codes,
– au moins un chiffre pair dans chaque code,
– la liste des caractères possibles devient { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , A , B }, 1 élément reste à éliminer.
« Le produit des valeurs numériques de l’ensemble des touches pressées dans chaque code n’est pas un carré parfait », couplée à la déclaration précédente, entraîne :
– Si 9 est dans un code, alors 6 et 3 sont ensembles dans l’autre pour égaliser les puissances de 3, et la puissance de 2 doit être impaire, on trouve { A , 1 , 8 , 9 } pour un code et { B , 2 , 3 , 6 } pour l’autre.
– Si 9 n’est dans aucun code, alors 6 et 3 sont chacun dans un code et la puissance de 2 peut être paire ou impaire, on trouve { A , 1 , 6 , 8 } + { B , 2 , 3 , 4 } ou { A , 2 , 3 , 8 } + { B , 1 , 4 , 6 }.
« La somme des valeurs des touches d’un code et la somme des valeurs des touches de l’autre sont des valeurs consécutives » permet d’éliminer { A , 2 , 3 , 8 } + { B , 1 , 4 , 6 }.
« La somme des valeurs des premières touches des 2 codes est identique à celle des deuxièmes touches de ces codes », on trouve les combinaisons possibles suivantes :
A1xx 2Bxx
1Axx B2xx
98xx B3xx
98xx 23xx
89xx 3Bxx
89xx 32xx
86xx B4xx
86xx 24xx
68xx 4Bxx
68xx 42xx
« La somme de la valeur des trois premières touches du code d’Edmond est égale à la somme de la valeur des trois dernières touches du code de Fulgence », on réduit les combinaisons possibles :
Edmond Fulgence
A198 2B36
A198 2B63
1A98 B236
1A98 B263
3B62 891A
3B62 89A1
326B 89A1
B423 86A1
24B3 86A1
« Edmond et Fulgence relèvent la tête, pour se dévisager longuement »
Les 2 personnes, connaissant leur propre code, gardent une ambiguité sur le code de l’autre puisque aucun ne parle. Notamment Fulgence, pour qui une ambiguité persiste pour les codes 89A1 et 86A1. Donc c’est son code. Edmond ne peut pas avoir 326B ni B423 ni 24B3 car aucune ambiguité n’existe pour ces codes et il aurait donc parlé en premier. Donc Edmond a 3B62 comme code (qui a bien une ambiguité). Garance a bien vu cette double ambiguité chez les 2 personnes et a trouvé elle aussi cette seule possibilité.