[solution] Deux digicodes

Avec la méthode adéquate, avec un papier et un crayon, la solution peut être trouvée en quelques minutes. Nous détaillons ici chaque étape de l’élucidation.

Étape 1

Reprenons les premières affirmations une à une.

Première affirmation de Léon :

« Le code de Fulgence n’a aucune touche (chiffre ou lettre) commune avec celui d’Edmond. Et pour chaque code, les quatre touches pressées sont différentes (aucun chiffre ou lettre n’est présent plus d’une fois dans un code). »

Nous ne pouvons pas encore en déduire grand chose, mais elle nous sera très utile dans un instant…

Deuxième affirmation de Léon :

« Je remarque que le produit des valeurs numériques de l’ensemble des touches pressées (chiffres et lettres) est le même pour les deux codes.

Cette affirmation révèle que les codes ne présentent ni le chiffre 0, ni le chiffre 5, ni le chiffre 7. En effet, s’il un des codes présentait un 0, le produit associé serait égal à zéro. Mais l’autre code ne pouvant contenir de 0 (cf. première affirmation), les deux produits seraient inégaux. Si le chiffre 5 ou le chiffre 7 étaient utilisés, le produit associé serait un multiple de 5 ou de 7, or aucun autre nombre disponible n’est un multiple de 5 ou de 7, et aucune égalité ne serait encore possible.

Seules neuf touches sont encore disponibles : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, A et B. Huit sur neuf sont les touches utilisées dans les deux codes.

Étape 2

Ah, si seulement on pouvait n’avoir que huit touches de disponibles…

Dans l’énoncé, je vous conseillais de chercher à prouver que « ce n’était pas neuf ». Suivons mon conseil, et penchons nous sur le cas du chiffre 9.

Si le 9 est dans un digicode, le produit des chiffres de l’autre digicode est un multiple de 9. Il contient donc nécessairement deux multiples de trois : 6 et 3.

Toujours dans l’hypothèse de la présence du 9 dans les digicodes, les touches qui resteraient à notre disposition ont pour valeur : 1, 1 (A), 2, 2 (B), 4, et 8. Les chiffres 4 et 8 (produit : 32) ne peuvent pas être présents simultanément dans le même code (la valeur maximale obtenue avec trois chiffres restants est de 4).

3,6,8,1
3,6,8,2=18×16

Étape 3

On peut remarquer que les chiffres 6 et 3 sont forcément présents dans deux digicodes différents (6 étant le seul multiple de 3 disponible, maintenant que le 9 est exclu).

Partant de cela, nous pouvons étudier le cas du chiffre 8. Raisonnons par hypothèses.

• Hypothèse 1 : le chiffre 8 est présent dans le code où apparait le chiffre 6 ; le produit de ces deux nombres (48) est égal au produit des valeurs des touches 2,3,4 et B (qui seraient toutes utilisées dans un code). Les touches A et 1 seraient automatiquement associées au 6 et au 8.
• Hypothèse 2 : le chiffre 8 est présent dans le code où apparait le chiffre 3 ; le produit de ces deux nombres (24) est :
  • soit égal au produit de 6 avec 4 ;
  • soit au égal  produit de 6 avec la valeur des touches « 2 » et « B ». Mais dans ce cas, où mettre le 4 ? Avec 6,2 et B ? Impossible, cela briserait l’égalité des produits. Avec 8 et 3 ? Même conclusion.

De ce fait, si 8 et 3 sont dans le même code, 6 et 4 sont dans l’autre code. Dans chacun des deux codes se trouveraient une touche dont la valeur est 1, et une autre dont la valeur est 2.

Pour savoir quelle hypothèse est la bonne, il faut se référer à la deuxième proposition de Garance, niée par Léon :

« Et si j’additionne la valeur numérique de l’ensemble des touches de l’un des codes, et que je compare cette somme à celle que obtenue en effectuant la même opération sur l’autre code, […] les deux nombres obtenus sont-ils consécutifs ? »

Léon affirme que non. Cela exclut que le chiffre 3 et le chiffre 8 soient dans le même code. En effet, la somme des valeurs des touches y serait égale à 14 (3+8+2+1), à comparer avec la valeur 13 pour l’autre code (6+4+2+1). Ces deux nombres sont consécutifs. On déduit donc que le chiffre 8 est présent dans le code où apparait le chiffre 6 (hypothèse 1).

Un code utilise donc les touches 1, 6, 8 et A, et l’autre les touches 2, 3, 4 et B.

Nous désignerons désormais le code utilisant la lettre A « code A », et l’autre « code B ». A ce stade, il n’y a déjà plus que 24 possibilités pour l’un, et 24 pour l’autre ! Cela fait encore 576 duos de codes possibles. On ne va certainement pas tous les écrire…

Étape 4

Intéressons-nous maintenant à la troisième affirmation de Léon :

« Si l’on additionne la valeur de la première touche du code de Fulgence à celle de la première touche du code d’Edmond, on obtient le même résultat qu’en effectuant l’opération avec les deuxièmes touches de vos codes. »

Formulons l’hypothèse que 8 est l’une des deux premières touches du code A. Il ne peut être apparié ni à 3 (impossible d’obtenir une somme de 11 avec deux chiffres piochés dans chaque code) ni à 4 (idem avec 12). Il peut éventuellement être couplé avec 2 ou B (total = 8). En ce cas, l’autre couple de chiffres placés en première ou deuxième position est nécessairement 6 (pour le code A) et 4 (pour le code B). On remarque d’ailleurs que 6 ne peut être associé ni avec 3, ni avec 2 ou B.

Si 1 (ou A) est l’une des deux premières touches du code A, il ne peut être associé ni à 6 ni à 8, et seulement à 2 ou à B.

Il n’y a plus que 32 possibilités : huit couples codes dans lequel le code 1 commence par 68, huit autres où ce début est 86, huit autres où ce début est 1A, huit où ce début est A1.

C’est ici qu’il nous faut utiliser la première proposition de Garance. Léon affirme que la phrase « Une lettre est présente dans chaque code, et les lettres se trouvent à la même position dans chaque code » est fausse. On sait que la première partie de la phrase est vraie ; c’est donc que la seconde partie est fausse.

Cela nous permet d’éliminer quelques propositions parmi les couples de codes encore possibles à ce stade. Il ne nous reste plus que 20 possibilités :

Douze paires restent possibles si le code A commence par 68 ou 86 :

• 681A / 42B3
• 681A / 4B32
• 681A / 4B23
• 68A1 / 423B
• 68A1 / 4B32
• 68A1 / 4B23
• 861A / 24B3
• 861A / B432
• 861A / B423
• 86A1 / 243B
• 86A1 / B432
• 86A1 / B423

(Paires exclues : 681A / 423B ; 68A1 / 42B3 ; 861A / 243B ; 86A1 / 24B3)

Huit paires restent possibles si le code A commence par A1 ou 1A :

• A168 / 2B43
• A168 / 2B34
• A186 / 2B43
• A186 / 2B34
• 1A68 / B243
• 1A68 / B234
• 1A86 / B243
• 1A86 / B234

(Paires exclues : A168 / B243 ; A168 / B234 ; A186/ B243 ; A186/ B234 ; 1A68/ 2B43 ; 1A68/ 2B34 ; 1A86/ 2B43 ; 1A86/ 2B34)

Étape 5

Comment choisir parmi ces 20 paires? Il faut se référer à la quatrième affirmation de Léon :

« La somme de la valeur des trois premières touches du code d’Edmond est égale à la somme de la valeur des trois dernières touches du code de Fulgence. »

Les valeurs de trois touches sont additionnées dans chaque code. Pour le code B, la somme de trois valeurs donne au minimum 7, et au maximum 9. Cela exclut que le chiffre 8 soit utilisé dans le code A.

Les trois touches utilisées pour le code A aboutissant à la somme de 8, on en déduit que la touche exclue dans le code B est le « 3 ».

Nous retenons donc seulement les paires pour lesquelles 8 et 3 se trouvent aux extrémités opposées.

• 861A / 24B3
• 861A / B423
• 86A1 / B423

On sait d’ores et déjà que le code A est celui de Fulgence, et le B celui d’Edmond.

On remarque que deux codes A sont possibles, de même que deux codes B.

Si le code d’Edmond est 24B3, Edmond connait avec certitude le code de Fulgence (il n’a qu’une possibilité).

Si le code de Fulgence est 86A1, Fulgence connaît avec certitude le code d’Edmond (il n’a, là encore, qu’une possibilité).

Or, durant une vingtaine de secondes, les deux hommes se toisent, attendant de l’autre qu’il annonce avoir trouvé la solution. Garance déduit de ce long silence qu’aucun d’eux n’a de certitude, et donc que le code de Fulgence est 861A, et celui d’Edmond B423 ! Comprenant la situation, les deux hommes trouvent à leur tour.