Curio-carré (un, deux, zéro, un, deux, zéro…)

Bonjour à vous, vaillant arpenteurs des plaines farouches des Internets ;

Cette semaine, je vous propose de nouveau un défi. Un petit passe-temps, pour lequel existe quelques solutions. Il s’agit de remplir un carré de neuf cases selon une règle précise, et d’obtenir un résultat donné… C’est presque trop simple !

Bon jeu ! (au passage, la solution du défi précédent arrive, je ne vous ai pas oublié…)

Voici le défi.

Soit une grille carrée de 3 x 3 cases. Cette grille se remplit selon les règles suivantes :

  • premièrement, on inscrit dans deux cases différentes de son choix les chiffres « 1 » et « 2 » ;
  • la grille se remplira par la suite ligne après ligne, de gauche à droite et de haut en bas, en commençant par la première case vide ;
  • pour déterminer le chiffre à inscrire dans chaque case vide, on fait la somme des chiffres présents dans les cases avoisinantes déjà remplies. Mais dès que cette somme dépasse 2, on reprend le compte à 0 (autrement dit, on compte en base 3 en ne conservant que la première unité) :
    • ainsi, 2 + 2 = 1, 2 + 2+ 1 = 2, 1 + 2 = 0… Un total de 8 (3 x 2 + 2) donnera 2, un total de 16 (3 x 5 + 1) donnera 1 ;
    • on désigne par « case voisine » les cases situées immédiatement au-dessus, au-dessous, à droite, à gauche, et en diagonale de la case que l’on cherche à remplir. La case centrale de la grille a ainsi huit voisines ;
    • si, au commencement, les cases voisines de la première case vide sont vides elles aussi, on inscrira 0.

enigme123123_exemple_1Exemple de remplissage de grille. A la fin, on y trouve deux 0, deux 1 et cinq 2.

Le défi : vous devez trouver où placer initialement le 1 et le 2 pour qu’une fois la grille remplie, elle comporte exactement trois 0, trois 1 et trois 2 !  

Le superdéfi : il existe 72 façons de remplir cette grille, mais il n’existe que 6 solutions… quelles sont ces 6 solutions ?

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Bon jeu !

2 réflexions sur “Curio-carré (un, deux, zéro, un, deux, zéro…)

  • 20 octobre 2015 à 0 h 14 min
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    [Eureka] et [Super-Eureka]
    I) Voici les 6 solutions possibles:
    a) premiere solution:
    xx1
    xxx
    xx2

    qui donnera:
    011
    120
    022

    b) deuxieme solution:
    xx2
    xxx
    xx1

    qui donnera:
    022
    210
    011

    c) troisieme solution:
    xx1
    xxx
    x2x

    qui donnera:
    011
    012
    022

    d) quatrieme solution:
    xx2
    xxx
    x1x

    qui donnera:
    022
    021
    011

    e) cinquieme solution:
    xxx
    1×2
    xxx

    qui donnera:
    110
    122
    020

    f) sixieme solution:
    xxx
    2×1
    xxx

    qui donnera:
    220
    211
    010

    II) Il reste maintenant a prouver cela mathematiquement, ce qui serait plus joli.
    L’ideal serait de trouver une propriete pour la matrice 3*3 qui reste vraie a chaque calcul de somme de cellules; trouver la valeur de cette invariant pour la solution finale recherchee; et en deduire les matrices possibles au debut.

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    • 21 octobre 2015 à 9 h 30 min
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      Bien joué ! La démonstration est difficile… et la généralisation de l’exercice à des carrés plus grand l’est également (un « super-méga-ultra-défi » pour mathématiciens sera proposé sur cette base dans le billet reprenant les six solutions). 🙂

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