Les classiques : un problème démographique
Comme vous le savez, je propose sur une base irrégulière ce blog des énigmes inédites, ciselées avec soin par mon esprit tordu. Mais je résisterais difficilement au plaisir de vous servir ici, de temps à autres, quelques « grands classiques« . Quitte à les assaisonner à ma façon !
Les énigmes, le Monde.fr et moi, c’est une longue histoire d’amûûûr. Ma première contribution de ce type remonte à avril 2009, dans les commentaires d’un article sur le contrôle des naissances en Chine. Le problème en question n’était absolument pas de mon cru (beaucoup d’enseignants de Terminale scientifique le proposent depuis longtemps à leurs élèves). Mais ma reformulation de ce « grand classique de l’énigme » avait alors fait couler un peu d’encre numérique, et l’on m’a récemment rappelé l’existence de cette devinette démographique – que j’aurais aimé avoir inventée.
Dans un pays X, que nous appellerons par exemple la Chinde (ou l’Ine), une loi est promulguée selon laquelle les familles doivent cesser d’avoir un enfant dès la naissance d’un garçon. Toutefois, personne n’est obligé de procréer jusqu’à la naissance d’un garçon (on peut s’arrêter à une fille, à deux filles, etc.). On postule, dans ce problème, que la probabilité de mettre au monde un garçon ou une fille est identique (je sais bien qu’en réalité, le ratio n’est pas 50/50, mais en Chinde, c’est comme ça).
Quelques années plus tard a lieu un recensement.
On trouve donc des familles avec un seul garçon, des familles avec une fille et un garçon, des familles avec deux filles et un garçon, des familles avec trois filles et un garçon, ou encore avec sept filles et un garçon… ainsi que, comme on l’a dit, des familles qui n’ont que des filles et qui ont renoncé à avoir un héritier mâle.
Dans cette génération, le nombre de garçons tendrait-il à dépasser celui des filles ? Ou le contraire ?
Ni l’un ni l’autre 🙂
Comme la proba est 50/50 on aura autant de gacon que de filles cqfd!
A la louche, je dirais plus de filles. Faisons un test de ce qui peux se passer:
– 1 garcon direct / probabilité 50% / si ca arrive, le resultat final est 100% garcon
– 1 fille puis un garcon / probabilité 25% / resultat final 50% fille et 50% G.
– 2 filles puis 1 garcon / proba 12.5% / resultat final 66% F et 33% G
– 3F 1G/ proba 6.25% / RF 75% F et 25% G
etc…
a la fin, faut mutiplier la proba par RF pour chacun des cas.
50% c’est 0,5 ; 100% c’est 1 etc donc:
proba finale d’avoir un garcon=0.5×1+0.25×0.5+0.125×0.33+etc…
cad = 0.5+0.125+0.04125+etc
donc on a plus de chance d’avoir un garcon.. zut, je pense qu ca deviat etr elle contraire (car le nombre de filles a faire avant d’avoir un garcon va exploser les stats pour les filles non?)
et vous dites 50/50
mes cours de stat sont decidemment bien loin
Votre erreur vient du fait que vous ne comptez pas la bonne chose : « proba finale d’avoir un garcon= … ». Or l’énoncé ne demande pas quelle est la proba d’avoir un garçon, qui est effectivement nécessairement supérieure à 50% ; mais quel est le nombre de garçon par rapport au nombre de filles.
peut -etre
mais je viens de trouver une autre maniere de penser moins mathematique, plus « globale ».
le fait que les couples s’arretent des le 1er garcon n’a aucun impact sur le resulat final.
Qu’un couple fasse une fille puis un garcon, ca n’est pas different en stat qu’un couple fasse une fille et un autre couple un garcon, ca reviens au meme (le fait que ce soit le meme couple ou pas ne change rien)
donc la proba reste equillibree, 50/50.
Votre raisonnement est correct, il y aura plus de garçons. C’est vrai que dans les familles nombreuses, il y aura plus de fille que de garçons. Mais il y aura plus d’enfants uniques garçons que d’enfants uniques filles. Parmi les familles à 2 enfants, il y aura plus de F-G que de F-F. Parmi les familles à 3 enfants, plus de F-F-G que de F-F-F…
Si on prend un ensemble de parents, la moitié des couples feront un garçon et l’autre moitié une fille.
Donc dans le cas d’un seul enfant ça tend vers l’égalité.
Si on prend l’ensemble des parents qui ont le droit et l’envie de faire un autre enfant, la moitié feront une fille et l’autre moitié un garçon.
On peut continuer le raisonnement en prenant la population des parents qui ont le droit et l’envie de faire un troisième, un quatrième enfant et ainsi de suite jusqu’à avoir passé tous les enfants en revue. Chaque population d’enfants sera reparti de manière égale entre filles et garçons.
Conclusion, si on sépare la population d’enfants par groupes de premier enfant, second, troisième et ainsi de suite, chaque groupe est réparti équitablement entre garçons et filles. On tend donc vers l’égalité.
Anecdote quand même… A l’échographie (il y a 25 ans) « Monsieur, vous allez être content c’est un garçon » Et si cela avait une fille j’aurai été malheureux ?
« Cela ne peut pas être une fille, regardez le moniteur on voit bien, il y a un sexe »
Les filles n’ont pas de sexe ? « Ne m’embrouillez pas pas vous savez très bien de quoi je parle » Hôpital Saint-Antoine en 1990.
Olivier
Belbeoch vous êtes du genre à chercher la petite bête. Si il vous dis « Monsieur, vous allez être content c’est un garçon ». Si vous pensez que dans le cas d’une fille son propos aurait été différent, c’est vos préjugés qui sont impliqués dans ce raisonnement, pas le sien. Si ça trouve votre médecin aurait dis « Monsieur, vous allez être content c’est une fille » postulant que dans tous les cas vous seriez content de connaître le sexe de votre enfant.
En tout cas c’est ce que fait penser votre question à la fin « les filles n’ont pas de sexe ». A vouloir être plus bête qu’on ne l’est on le devient effectivement.
Une énigme un peu vieille des années 50 (Markov ?). D’après l’énoncé du problème ce sera 50/50 mais dans la réalité il y a un peu plus de naissances de garçons que de filles (52 pour 50). L’énigme d’origine d’après mes souvenirs concernait un sultan autorisant ou non d’avoir un enfant de plus. Je serai ravi de récupérer la référence de ce livre.
@BELBEOCH : on a posé comme principe que c’était 50/50 même si dans la réalité c’est faux
Dans le problème d’origine dont je me souviens il s’agissait d’un sultan qui autorisait les couples à avoir un deuxième enfant quand le premier était une fille (comme quoi…).. Bien sûr cela ne changeait absolument pas la répartition qui restait 50/50. Il suffit pour s’en convaincre d’effectuer les mêmes calculs de proba en inversant le problème : un deuxième enfant possible si le premier est un garçon…
Néanmoins si quelqu’un a en tête le livre j’aimerai bien en avoir connaissance. Je l’ai prêté il y a bien 20 ans à je ne sais qui et il y a des problèmes que j’aimerai poser à mes étudiants en statistiques… des histoires d’ascenseurs, d’anniversaires et … de jeux d’échecs (pour les puissance de 2).
Olivier
Je serais assez curieux de retrouver le premier livre qui posait cette énigme, en effet. Il me semble qu’elle date au moins des années 60. Si vous retrouvez les références du livre, faites moi signe ! $$
Facile : plus de garçons.
J’imagine que le jeu tient à ce que l’énoncé semble citer beaucoup de filles lol mais le résultat est évident et correspond d’ailleurs à peu près à ce qui s’est passé en Chine et aussi en Inde.
@duong : quel est votre raisonnement pour parvenir à ce résultat ? Si c’est facile vous devriez le transcrire sans problème.
Mea culpa, me suis trompé bêtement : les autres m’ont convaincu. Honteux.
Mais non, pas honteux. L’important c’est de chercher et de tenir compte de ses erreurs.
Empiriquement
from random import randrange
def simulation(nb_family):
nb_male = 0
nb_female = 0
for _ in range(nb_family): # nombre de familles
while True:
child = randrange(0, 2) # faite un enfant
if child == 0: # si c’est un garcon, arretez
nb_male += 1
break
else: # si c’est une fille continuez
nb_female += 1
return nb_male, nb_female
>>> simulation(100000)
>>> In [53]: simulation(1000000)
>>> Out[53]: (1000000, 1000007)
C’est donc 50/50
Les deux populations vont s’équilibrer. Chaque naissance est un évènement indépendant des naissances précédentes, donc quel que soit le nombre de naissances et quelles que soient la répartition et la composition des familles, on aura une espérance mathématique de 0,5 pour les filles comme pour les garçons.
plus de garcons !
empiriquement :
1er tour
50% 1G
50% 1F
2e tour
50% 1G ( herite du premier tour)
25% 2F
25% 1G 1F
–> en tout
0.5G +0.5F +0.25G +0.25F = 0.75G +0.75F ( mais bon on est plutot un tout alors disons 75 G et 75 F pour 100 familles
Ca devrait continuer comme ca !!
Oups….
ma premiere phrase me demasque,, effectivement mon intuition allait vers un desequilibre pour les garcons
l’exemple ensuite montrant bien le contraire 🙂
Oui, c’est une chouette énigme contre-intuitive ! ^^
@Bricoles : amusant : vous dites « plus de garçons » et vous démontrez « autant de garçons que de filles »
MDR….. si tu arrives à 0,75 G + 0,75 F, tu tends vers l’égalité… alors que tu dis qu’il y aurait plus de garçons.
La réponse est : 50/50, comme tu l’as montré 😉 mais il y aura moins d’enfants, normalement. Sauf si les couples avec de multiples filles compensent en continuant à procréer. Mais là on sort des math pour entrer dans l’ethnologie et la sociologie…..
1G puis 1F ca peux pas arriver si?
j’avais compris qu’ils s’arretaient au premier garcon
50/50 par récurrence, le dernier rang (car il y en a forcément un vers 45 ans…) ayant 50 % de « satisfait » et 50% de déçu…
Petit complément, le total moyen reste sous 2 enfant par famille en s’en approchant de 1/2 puissance n, n étant le nombre de tentative…
(1/2)^n tend vers 0. Le nombre moyen d’enfants avec n tentatives est somme(k=1..n,1/(2^(k-1))), ce qui tend bien vers 2 (1+1/2+1/4+…).
Intuitivement, j’aurais dit qu’il y aurait plus de filles, mais en fait, au final, en suivant le raisonnement mathématique, on arrive à l’équilibre: à la première naissance, 50/50, mais les 50 familles de garçons ne peuvent plus faire d’enfants, en revanche les 50 familles filles, elles, peuvent réessayer, à nouveau ratio de 50/50 (même si dans la réalité ce n’est pas forcément vrai), donc, a prirori, on se retrouve avec 25 filles et 25 garçons, et ainsi de suite, l’équilibre sera respecté..
Mais attention, reste une donnée hors énoncé, dans certaines cultures, les familles n’hésiteront pas à zigouiller les filles pour n’avoir qu’un enfant unique mâle, ce qui déséquilibre complètement le ratio…
C’est marrant la tendance qu’ont certains à faire entrer des informations qui ne sont pas dans l’énoncé.
Cela me rappelle une scène du film Apollo 13 : quand on remet à une équipe au sol le matériel exact disponible dans la capsule en demandant de proposer une solution. Si on leur avait remis la liste du matériel, ils auraient inventé une solution impraticable…
🙂
ok pour le cas ou ca marche du premier coup 50/50 (si ca marche c’est 100% garcon)
mais si c’est au second coup, on a 1 fille comme premier enfant puis encore 50/50 pour avoir un garcon (total 50% fille / 50% garcon)
au troisieme, 2 filles puis un garcon (66%F et 33% G
etc…
donc au final, le nombre total de fille va etre de plsu en plus elevé non?
Non parce que le nombre de couple où il faut attendre aussi longtemps pour avoir un garçon est de plus en plus faible. En fait à chaque fois qu’un couple décide de faire un enfant de plus pour essayer d’avoir un garçon, 50% des enfants qui naissent sont des garçons et 50% des filles, donc ça ne change pas la proportion globale.
Ceci dit la répartition des naissance sera une gaussienne, donc je me demande si l’écart probabiliste par rapport à la répartition exactement équivalente des sexes ne change pas le résultat final dans un modèle plus précis.
plus de filles !!
Si les couples persistent à procréer jusqu’à obtenir un garçon, alors, le nombre de filles et de garçon s’équilibrerait. Mais il y aura certainement (au vu de l’énoncé) des couples qui se « décourageront » après avoir eu une ou plusieurs filles, et de donneront donc pas de garçon à notre statistique => garçons manquent… donc au final plus de filles ! Ce qui, soit dit en passant, n’est pas forcément pour me déplaire 😉
Il y en aura toujours autant.
Plus de filles, car comme il est écrit dans l’énoncé, les familles ont la possibilité d’arrêter de faire des enfant, avant d’avoir un garçon.
Nous ne sommes donc plus dans le cas d’une loi binomiale (nombre de succès avant un échec).
Très légèrement plus de filles
puisque au bout d’un certain nombre de naissances, si une mère n’a eu que des filles et qu’elle ne peux plus avoir d’enfants eh bien toutes ces filles vont déséquilibrer le rapport garçons / filles au profit de filles.
Conseil aux candidats :
(1) lisez complètement l’énoncé
(2) faites votre raisonnement hors ligne, puis mettez le en forme
(3) relisez vous avant d’envoyer
Il y aura la même proportion de filles et de garçons..
Si on pousse le raisonnement à l’extrême et que chaque famille essaie à tout prix d’avoir un garçon, alors 1 famille sur 2 s’arrêtera au premier enfant, 1 sur 4 au deuxième, une sur 8 au troisième… Le nombre total de garçon par famille sera alors de 1 qui est aussi la somme de la série des (1/2)^n pour n allant de 1 à l’infini (cf. paradoxe de Zénon d’Elée).
Le nombre de filles lui sera de 0 pour une famille sur 2, puis de 1 pour 1 famille sur 4, puis de 2 pour une famille sur 8… Autrement dit pour une famille sur 2^n, il y aura (n-1) filles. Il reste à calculer la somme de la série des (n-1)/2^n pour n allant de 1 à l’infini, ce qui est égal à la moitié de la somme de la série des n/2^n pour n allant de 1 à l’infini (par décalage d’indice), laquelle somme est égale à 2 : donc il y aura en moyenne 1 fille par famille.
Ca doit plus ou moins être ça (cependant, cette démonstration est niveau bac+2, pas TS… même si la formule de la somme d’une suite géométrique est au programme de TS et correspond aux sommes partielles de la première série)
Comme le fait que certains couples arrêtent d’avoir des enfants ne change pas les probabilités pour les autres, pour chaque rang (1er enfant, 2ème enfant, …) c’est 50/50 pour l’ensemble des couples qui vont jusqu’à ce rang (si on peut se permettre de parler comme ça), donc au total 50% de chaque sexe.
Et le fait de limiter certains couples ne fait que limiter le nombre total d’enfants.
Et, bien sûr, si ces couples avaient aussi d’autres enfants, ce serait pour eux aussi 50/50 pour chaque nouvel enfant.
Plus de filles: en effet, on est à 50/50 jusqu’à que à un niveau, ou un nombre d’enfants, la famille arrête de procréer sans avoir de garçon.
Conseil aux gens qui ont étudié les stats :
essayez de vous ramener à un cas simple en oubliant tous les aspects sociologiques, psychologiques, démographiques… qui de toute façon ne sont pas dans l’énoncé.
Au moment du recensement il y a eu N naissances. Comme l’a dit quelqu’un plus haut, chacune de ces naissances est un événement indépendant de toutes les autres naissances. Chaque naissance a une probabilité de 50% de donner une fille. Tout est dit
Ici le cas simple, c’est « tirage avec remise »
J’ai la réponse: il y aura des milliards de gamins!
Mécanique appliquée ? je dirais « Orange pressée » !
Les commentaires sont beaucoup plus intéressants que le problème…
100% de transgenres je crois….
A la première génération, il y aura plus de filles.
Une famille aura entre 0 et N filles et entre 0 et un garçon.
La probabilité d’avoir un garçon est de 0,5 par famille
Une famille sans enfant: aucun intérêt
Une famille avec un enfant: autant de garçon que de filles en moyenne
Une famille avec deux enfants FF,ou FG -> les deux cas sont équiprobables mais la probabilité d’avoir une fille est de 75% quand on a deux enfants
3 enfants: FFF ou FFG
4 enfants FFFF ou FFFG
Dans une fratrie ( au moins deux donc), il ya toujours plus de filles que de garçons, si on fait la somme çà reste vrai collectivement
C’est un peu plus compliqué.en fait car par exemple pour deux enfants, on a soit FF ou FG, donc plus de filles mais ensuite les familles FF peuvent décider d’avoir plus d’enfants donc FF se transforme en FFF ou FFG donc la probabilité de P(FF) toutes les familles de deux filles veulent avoir un troisième enfant, on aura N familles de FG et N/2 de FFF et N/2 de FFG et au total: Fx(N+5N/2) et Gx(N+N/2)= 3,5NF et 1,5NG
Cela ne change rien en fait on aura toujours plus de filles
Une loi juridique ne modifie pas une loi mathématique. La probabilité d’un garçon et d’une fille sont équivalentes et il en naîtra autant. Que ce soit pour la naissance du 1er enfant ou du second, avec au moins deux fois moins de couples concurrents, ou du troisième avec quatre fois moins. Si le problème reste abstrait il y aura donc tendance à l’égalité. Dans la pratique c’est autre chose. On peut ne pas respecter la loi, ce qui n’aura pas d’incidence, ou choisir d’avorter en fonction du sexe du foetus, voire de tuer l’enfant à la naissance, ce qui fausse les résultats. C’est bien la situation actuelle en Chine.
Il n’y a aucune raison d’avorter ou de tuer l’enfant, si on désire avoir un garçon, puisque dans l’énoncé la loi ne limite pas le nombre d’enfants. Toute analogie à la politique de l’enfant unique chinoise ne tient pas du tout !
Plus de filles parce que si les parents pouvaient procreer a l’infini, il y aurait alors autant de fille que de garcons, et le nombre d’enfants par famille serait en moyenne deux. Par ailleurs cette devinette est aussi tres pedagogique pour un point: on peut lire dans des livres sur la demographie et sociologie que lorsque le taux de fecondite est de deux enfants par femme, la societe n’est plus focalisee sur les garcons parce qu’un couple sur quatre renonce a avoir un garcon (ce qui est vrai si tout le monde s’arretait a maximum deux enfants). Cet exemple nous montre que c’est faux, puisqu’ici, si les couples n’acceptent d’arreter de faire des enfants que quand ils obtiennent un garcon (et sont donc tres focalises sur les garcons), le taux de fecondite est de deux.
Ce probleme est d’ailleurs mathematiquement semblable au probleme du casino: je double la mise tant que je n’ai pas gagne… sauf que a un moment j’ai pas assez de sous pour doubler… donc il y a plus de filles.
…et voilà pourquoi votre fille est muette.
Qui est ce « donc » qui se permet d’affirmer sans démontrer ?
Cela me rappelle un problème similaire, mais cela se passe en Rusy où la dictature exige d’avoir au moins 7 enfants, que le benjamin soit un garçon dont les deux ainées directes soient des filles.
@mourmansk : Poursuivez ! Poursuivez !
Si j’osais (ose donc ! ose donc !) je dirais que plusieurs réponses à cette énigme forment une maquette intéressante de la façon dont naissent les théories du complot : trouver une solution apparemment scientifique à un problème qu’on aborde avec beaucoup d’intérêt et beaucoup de candeur, mais pour lequel on manque cruellement de bases théoriques. Sans oublier l’influence de notre culture sur la solution qu’on imagine.
1ère fratrie : 50/50
2e fratrie: 50/50 (quel que soit le nombre de couples ayant décidé de continuer à procréer)
3e fratrie: 50/50 (quel que soit…)
Etc.
Donc limitation des naissances mais parité respectée.
Dans les familles avec au moins 2 enfants, il y a au moins autant de filles que de garçons car la naissance d’un garçon est toujours précédée de celle d’une fille.
Dans les filles avec 1 seul enfant, il y a autant de filles que de garçons car p(F)=p(G)=1/2.
Donc dans toutes les familles, il y a au moins autant de filles que de garçons.
@GREG :
« Au moins autant » + « Autant » = « Autant ». Y’a quelque chose qui cloche.
Cela dit je suis d’accord avec votre conclusion.
Plus de filles !
Dans les familles avec au moins 2 enfants, n(F)>=n(G) car la naissance d’un garçon est toujours précédée de celle d’une fille.
Dans les familles avec 1 seul enfant, n(F)=n(G) car p(F)=p(G)=1/2.
Donc dans toutes les familles, n(F)>=n(G).
Non, je dis « Au moins autant » + « Autant » = « Au moins autant » car l’inégalité est conservée. Si a>=b et c=d alors a+c>=b+d.
Ici, je pourrais utiliser les notations : n(F) « nombre de filles dans toutes les familles », n1(F) « nombre de filles dans les familles à 1 enfant », n2(G) « nombre de garçons dans les familles à 2 enfants » et mon raisonnement s’énoncerait :
1) n2(F)>=n2(G)
2) n1(F)=n1(G)
Et comme n(F) = n1(F)+n2(F) et n(G)=n1(G)+n2(G) alors
n(F) >= n(G)
Au temps pour moi je vous ai mal lu et j’ai mal écrit.
En fait votre erreur est de dire « Dans les filles avec 1 seul enfant, il y a autant de filles que de garçons car p(F)=p(G)=1/2. » C’est vrai lors de la naissance du premier enfant, mais après une partie des familles ayant eu une fille en premier va avoir un autre enfant, voire plus… Ces familles vous allez les compter deux fois.
greg il me semble que si les familles avec plusieurs enfants auront forcément plus de filles que de garçons les familles avec un seul garçon seront d’autant plus nombreuses, ce qui équilibre en permanence le nombre entre filles et garçons. Les familles n’ayant eu que des filles et décidant d’arrêter sortiront alors du jeu et ne modifieront pas l’équilibre, la population augmentera du même nombre de filles et de garçons avec les familles qui continueront.
Toujours le même nombre donc, à n’importe quel moment T.
Ah Ah Ah ! merci beaucoup à tous et à toutes, je me suis bien amusé !
C’est plus ou moins ce qui se passe dans tous les lieux (et à toutes les époques) où il importe (ou importait) d’avoir un héritier mâle qui assure la suite (reprenne la ferme ou l’échoppe, perpétue le nom, etc.) Si cela provoquait un déséquilibre ça se saurait…
Quelque soit la raison pour laquelle on doit s’arrêter, l’obligation de s’arrêter n’a pas d’effet sur ce qui s’est passé avant l’arrêt (sinon il suffirait d’aller jouer tout les jours au casino en s’arrêtant dès qu’on a gagné plus qu’on a perdu…)
Pour 1 famille avec 1 enfant : F=<1 et G==F>=1>=G
Pour 1 famille avec 3 enfants : 3>=F>=2>G==F>=3>2>G
Etc…
Ça encouragerait a priori à ce qu’il y ait plus de filles..!!
je vous cite :
« F==1>=G » et é3>=F>=2>G==F>=3>2>G »
je ne sais pas ce que cela veut dire mais graphiquement c’est inattaquable
Oula il y a eu un problème :/
Pour 1 famille avec 1 enfant : 1>=F et 1>=G
Pour 1 famille avec 2 enfants : 2>=F>=1>=G
Pour 1 famille avec 3 enfants : 3>=F>=2>1>=G
Pour 1 famille avec 4 enfants : 4>=F>3>2>1>=G
Etc…
« Ça encouragerait a priori à ce qu’il y ait plus de filles..!! »
J’ai changé d’avis en lisant les différentes démonstrations…
On reste à 50/50 !
Comme on travaille avec des enfants entiers, in fine il y aura une quasi égalité éventuellement à 1 enfant près.
Démonstration avec 1000 couples fertiles et motivés qui procédent au tirage :
Rang 1 : 500G et 500F qui rejouent
Rang 2 : 250G et 250F qui rejouent
Rang 3 : 125G et 125F qui rejouent
Rang 4 : 63G et 62F qui rejouent
Rang 5 : 31G et 31F qui rejouent
Rang 6 : 15G et 16F qui rejouent
Rang 7 : 8G et 8F qui rejouent
Rang 8 : 4G et 4F qui rejouent
Rang 9 : 2G et 2F qui rejouent
Rang 10 : 1G et 1F ainsi que la médaille de la famille pour les 2 couples.
Dans cet exemple les parents on tenté leur chance jusqu’au bout et on voit que le seul déséquilibre nait des tirages impairs qu’il convient obligatoirement de répartir arbitrairement entre G et F.
On voit que le fait que des parents s’arrêtent n’a aucun effet puisqu’au rang où ils ont repris la contraception il y a bien équilibre G/F et pour le rang suivant il y aura équilibre entre les restants.
Reste le cas des impairs que je ne sais pas répartir sur la totalité des rang.
Sauf que non ! C’est là l’écart : il y les nF qui ne rejouent pas. Le déséquilibre est directement lié à la probabilité de vouloir continuer à procréer quand on n’a que des filles…
>= supérieur ou égale à
> strictement supérieur à
🙂 content
@MO
et « == » ?
Comment lisez-vous « G==F>=1>=G » ?
J’ai reposté la correction, il n’y a plus de ==
🙂
alors logiquement pour N familles on a :
N/2 garçons au premier enfant
N/2 filles
puis N/2/2 gars et N/2/2 filles
puis n/2/2/2 gars et N/2/2/2 filles
puis N/2/2….gars et N/2/2….filles
donc tout va dépendre du choix des familles a continuer de procréer après une fille ou non pour la moitié d’entre ceux qui ne procréeront(n famille) pas il y aura une non conception de n/2 garçons et n/2 filles.
Ma conclusion est à l’infinie il y a autant de garçons que de filles.
Si on utilise les notation : n(F) « nombre de filles dans toutes les familles », n1(F) « nombre de filles dans les familles à 1 enfant », n2(G) « nombre de garçons dans les familles à 2 enfants ». Alors :
1) n2(F)>=n2(G) car dans la naissance d’un garçon est toujours précédée de celle d’une fille.
2) n1(F)=n1(G) car la probabilité d’avoir une fille est la même que celle d’avoir un garçon
Or comme n(F) = n1(F)+n2(F) et n(G)=n1(G)+n2(G) alors n(F) >= n(G). Il y a au moins autant de filles que de garçons.
Comme les familles ont autant de chance d’avoir un garçon qu’une fille comme premier enfant, et étant donné que toutes les familles vont s’arrêter après un garçon mais certaines ne vont pas s’arrêter après une fille (et ne seront donc plus une famille à un seul enfant), il me semble que :
n1(F)<n1(G)
1er tour 100% des couples ont 50 % G 50%__________ total 1 G ______1 F
2eme tour 50% des couples ont 50% G 50% F ________ total 1,5 G ___1.5 F
3eme tour 25% des couples ont 50% G 50% F ________ total 1,75 G __1.75 F
etc …
comme certains couples vont arrêter d’avoir des enfants après X grossesses en ayant eu que des filles ils y aura un avantage aux filles…
Je me trompe ?
Eh oui, vous vous trompez.
Dans le pays X, on travaille à la chaîne et en cadence, tous les 9 mois une nouvelle fournée !
1ère fournée : autant de filles que de garçons. Notez que toutes les filles sont *déjà* compensées par des garçons.
2ème fournée : avec la moitié des participants, autant de filles que de garçons. Idem.
3ème fournée : certains couples avec deux filles fatiguent, mais parmi ceux qui continuent, itou pareil : chaque fille est compensée par un garçon !
4ème fournée : certains des fatigués se sont reposés, mais ça ne change rien, ils ont toujours la même probabilité d’obtenir un garçon ou une fille, et cette fournée aura toujours autant de filles que de garçons.
Etc.
Si aucune famille ne renonce à avoir un garcon, c’est les garçons qui seront en surnombre :
Pour 10000 familles,
* 5000 familles avec 1 garcon = 5000 garcons (50 % des cas)
* 2500 familles avec 1 garcon + 1 fille = 2500 garcons + 2500 filles, soit 50 % des 50 % ci-dessus
* 1250 familles avec 1 garcon + 2 filles = 1250 garcons + 2500 filles, soit 50 % des 50 % ci-dessus
* 625 familles avec 1 garcon + 3 filles = 625 garcons + 1875 filles, soit 50 % des 50 % ci-dessus
Je ne sais pas le démontrer mathématiquement mais mon Excel me prouve que même au bout de 38 filles, il y a encore plus de garcons que de filles (J’ai par contre découpé des garcons en 2 …)
Je pense que la subtilité de l’énoncé vient du fait que des familles renoncent à avoir un garcon mais comment prendre en compte cette donnée ? Quel est le pourcentage qui abandonne pour un « niveau » ?
@Nicolas : pensez-vous vraiment qu’un tableau Excel peut prouver quoi que ce soit ?
Comme quoi, tout en aillant le même nombre de filles et de garçons, on peut quand même avoir plus de soeurs que de frères…
Bien vu !
Dans la réalité en Chine comme en Inde, Pakistan, Bengla-Desh, il y a nettement plus de garçons de que de filles à la naissance. Et dans le monde un peu plus de garçons. En cause la politique de limitation des naissances et le statut infériorisé de la femme.
Le problème est les économistes néo-classiques ultra-libéraux , démographes etc. qui posent des hypothèses fausses et arrivent à des résultats faux sans observer objectivement la réalité. Le pire à mon sens, est un économiste simili prix Nobel (il n’y a pas de Nobel en économie) de l’école de Chicago, disciple de Milton Friedman, qui indexait les crises économiques sur les taches solaires ….
Il y aura plus de filles que de garçons.
Si les familles DEVAIENT procréer jusqu’à la naissance d’un garçon, on aurait une probabilité p1=1/2 d’avoir une fille comme premier enfant, une probabilité p2=1/4 d’en avoir une comme second enfant, une probabilité p3=1/8 comme troisième,…
Ainsi, le nombre de filles dans une famille serait en moyenne 1/2+1/4+1/8+…=1 (somme infinie d’une suite arithmétique de premier terme 1/2 et de raison 1/2).
Le nombre de garçons serait de 1 par famille, puisque chaque famille ne s’arrêterait qu’après en avoir eu un, et il y aurait donc autant de filles que de garçons.
Comme dans cette énigme les familles ne sont pas obligées d’avoir un garçon avant de s’arrêter, une certaine partie de la population va procréer jusqu’à avoir un garçon (et dans cette partie de la population il y aura 50% de fille et 50% de garçons, comme démontré plus haut), et une autre partie de la population va s’arrêter avant d’avoir un garçon, et aura donc 100% de filles. Donc au final, dans la population total, il y aura plus de fille que de garçons.
Je viens de me relire, je voulais dire suite géométrique et pas suite arithmétique.
il y aura plus de garçons !
Prenons le cas où il n’y aurait aucune interdiction : il y aurait 50% de garçons et 50% de filles. Vu que l’on stoppe les enfantements après un garçon, on limite la possibilté de la venue de filles pour equilibrer les garçons au sein d’une meme famille. Le systeme limite donc la venue du nombre de filles.
Intuitivement, je dirais plus de fillles dans la mesure où on « oblige » les familles qui ont un garçons à s’arrêter de procréer MAIS que personne n’est obligé de continuer à avoir des enfants. Si les familles devaient s’acharner jusqu’à avoir ce fameux garçon, la sitution serait égale en effet:
Bon? Et on nous la dit la réponse? Et qu’est-ce qu’on reçoit si on a bon?
Que se passe-t-il en cas de naissance de jumeaux ? Cela déséquilibre-t-il l’équation, comme Néo dans la matrice ? (Vrais jumeaux ? Faux jumeaux ?)
Et des triplés, par ex. 2G et 1F ?
A chaque naissance, il naîtra autant de filles, que de garçons et si des couples cessent de tenter leur chance ils seront aussi nombreux à avoir une fille qu’un garçon. Soit C le nombre de couples à la première naissance et P, Q, R les nombres de couples ayant des filles qui cessent dans les tours suivants, on aura :
C/2 garçon et C/2 filles au premier tour
C/2 + (C/2-P)/2 garçons et filles puis
C/2 + (C/2-P)/2 + ((C/2-P)/2-Q)/2 garçons et filles etc…
Autant de filles que de garçons finalement.
On ne peut pas savoir :
avec une remise constante jusqu’à l’obtention d’un garçon, il y aurait un peu plus de garçons que de filles.
Mais, on sait que certaines familles s’arrêtent avant d’avoir un garçon, ce qui modifie les proportions en faveur des filles, sans que l’on sache dans quelle proportion.
Non?
Il y a 50 % de chance que le nombre de garçons dépasse celui des filles et inversement…
On peut formaliser ça…
On convient qu’il y a, à chaque naissance, une probabilité d’1/2 d’avoir une fille, et une probabilité d’1/2 d’avoir un garçon.
Un couple n’est pas obligé de procréer à nouveau après avoir eu une fille.
On notera kx la probabilité qu’un couple refasse un enfant après avoir eu x filles.
On note g le nombre de garçons, f le nombre de filles, et n le nombre de couples.
g = 1/2*n + k1*(1/2)^2 * n + k2*(1/2)^3 * n + k3*(1/2)^4 * n ….
f = 1/2*n + k1*(1/2)^2 * n + k2*(1/2)^2 * n + k3*(1/2)^2 * n ….
Autrement dit : 1 couple sur deux a un garçon, puis rien. K1*1/2*n couples décident de retenter leur chance après avoir eu une fille. Parmi ces couples 1/2 auront un garçon, et pas d’autre enfant. La moitié restante aura une fille…. et on recommence. La probabilité d’avoir une fille sera toujours d’1/2. Le fait d’arrêter ou non d’avoir des enfants après avoir eu une fille ne change pas le résultat final : il y aura autant de garçons que de filles.
Evidemment dans les familles nombreuses, il y aura plus de filles que de garçons. Mais comme à chaque grossesse la probabilité d’avoir un garçon est d’1/2, ces familles seront rares.
Pour le fun :
Nombre moyen d’enfants par famille :
Nbmoy = lim n->+infini (Somme ((1/2)^n))
= lim n->+infini ((1-(1/2)^n)/(1-1/2))
= lim n->+infini ((1-(1/2)^n)/(1/2))
= lim n->+infini (2-2*(1/2)^n)
Or lim n-> 1/2^2 = 0
Donc
Nb_moy = 2-2*0 = 2
Soit deux enfants en moyenne par famille. Encore moins si on tient compte des couples qui arrêtent de faire des enfants sans avoir eu de garçons.
Bref, pas un bon moyen de limiter le nombre de filles/de garçons, mais un excellent moyen de limiter l’accroissement de la population ;).
Personnellement, je trouve 40% de garçons….
Vivement la réponse….
Bonjour à tous !
J’ai essayé de résoudre expérimentalement le problème. J’ai peut être remarqué un biais dans l’énoncé.
Il est dit : « Toutefois, personne n’est obligé de procréer jusqu’à la naissance d’un garçon (on peut s’arrêter à une fille, à deux filles, etc.). » Comment intégrer cette partie dans la résolution? D’autres infos ne seraient-elles pas nécessaires?
Voici mon code (sous matlab pour ceux qui veulent essayer) :
clear all
close all
clc
nbr_cpl = 10000;
nbr_try = 100
counter = zeros(nbr_cpl,2);
for n = 1:nbr_try
draw = rand(nbr_cpl,1);
for i = 1:nbr_cpl
if counter(i,1) == 0
if draw(i) < 0.5
counter(i,1) = 1;
else
counter(i,2) = counter(i,2) + 1;
end
end
end
end
pct_man = (sum(counter(:,1) / sum(sum(counter)))) * 100
pct_grl = 100 – pct_man
Bonne soirée et merci de nous proposer ces énigmes ! 🙂
En fait la possibilité de s’arrêter avant d’avoir un garçon ne change rien. La probabilité d’avoir un garçon ou une fille est indépendante des naissances précédentes et des naissances a venir.
4 familles qui ont un garçon en premier et une famille avec 5 filles et 1 garçon équivalent 5 familles avec une fille et un garçon.
Une famille qui s’arrête après 5 filles équivaut 5 familles qui s’arrêtent après une fille. Ce qui est statistiquement équivalent a 5 familles qui ont un garçon en premier.
Dans tous les cas on reste sur du 50/50.
Pas besoin de sortir l’artillerie statistique dans un cas comme celui la.
Chaque fois qu’un couple décide de procréer (dans le respect de la loi), il a une chance sur deux d’avoir un garçon et une chance sur deux d’avoir une fille.
Si N est le nombre total de décisions (légales) de procréer ,prises par les couples de la génération X, il y aura N/2 garçon et N/2 filles en moyenne dans la génération X+1.
La tendance est donc l’égalité.
Chaque naissance est un évènement indépendant, peu importe que les parents aient déjà eu un ou plusieurs enfants, ou aucun. Ce genre de politique n’aura donc en principe aucun impact sur le ratio homme/femme.
Dans CETTE génération, mathématiquement il y aura plus filles.
Dans la réalité, Il y aura plus de garçons:
– Ça coûte trop cher d’élever 2 enfants.
– Il est préférable d’avoir un fils.
– Certaines grossesses femelles sont avortés.
C’est 50/50.
La proposition peut se vérifier par récurrence.
On suppose qu’au bout de n naissances pour un couple la répartition est 50/50.
Si les couples décident d’arrêter là, la répartition reste 50/50.
S’ils décident d’avoir un enfant de plus, la probabilité est 50/50 pour cette nouvelle naissance, donc pour n+1 naissance la répartition reste 50/50.
Pour s’en convaincre on peut penser aux deux cas extrêmes:
-celui ou les couples décident d’arrêter à la première naissance => évidemment 50/50
-celle où ils décident d’avoir des enfants jusqu’à ce qu’ils aient une garçon. Dans ce cas la répartition des familles suit une suite géométrique de raison 1/2 (la moitié a 0 fille, 1/4 à 1 fille, 1/8 2 filles, etc…), ce qui donne également 50/50
Ce qui rend le problème intéressant c’est qu’il a une réponse alors qu’il semble qu’il manque des données (la probabilité qu’une famille a d’arrêter d’avoir des enfants après n naissances).
Ces données manquent effectivement pour calculer la distribution exacte des familles, mais pas la proportion des filles et des garçons de façon globale.
La réponse au problème posé n’est pas aussi évidente qu’il le paraît. Un raisonnement apparemment exact conduirait à la conclusion que le rapport est bien de 50/50, ou à peu près (105 garçons /100 filles car il naît un peu plus de garçons que de filles). MAIS IL Y A AUTRE CHOSE A PRENDRE EN COMPTE.
Je m’explique.
Le 31 mai 1948, Marcel-Paul Schützenberger et le Professeur Raymond Turpin présentent une note à l’Académie des Sciences intitulée : Recherches statistiques sur la distribution du sexe à la naissance. Suivent plusieurs études.
Je simplifie : les études montrent que L’INTERVALLE ENTRE LES NAISSANCES SEMBLE JOUER UN RÔLE.
Pour faire simple : si vous venez d’avoir un enfant et que vous en voulez un autre de l’autre sexe, vous avez statistiquement plus de chance d’être satisfait si vous espacez cette deuxième naissance. Je ne me prononce pas sur le délai.
Donc la réponse à la question posée suppose que l’on sache DE PLUS si les naissances sont proches ou espacées. Si elles sont très proches, cela fait augmenter le rapport fille / garçon.
(Autre référence : Denise Deroche, Marcel-Paul Schützenberger, et Raymond Turpin intitulée : Rapport entre le sexe des nouveaux nés et l’intervalle séparant leur naissance
Ces deux textes sont accessibles depuis l’adresse
http://www-igm.univ-mlv.fr/~berstel/Mps/index.html )
Voici ma solution : Partons d’un échantillon de 1000 couples n’ayant pas encore eu d’enfant.
– la première année, 50% des couples ont un garçon … Puis arrêtent de faire des enfants. On a 500 garçons et 500 filles
– donc, la deuxième année, 500 couples ont 50% de garçons … puis arrêtent de faire des enfants. On a au total 750 garçons et 750 filles
– Il reste 250 couples à pouvoir faire des enfants la 3ème année … dont 50% seront des garçons, On a au total 875 garçons et 875 filles.
Etc …
Si l’on part de 1000 couples, au bout de 10 ans, on aura eu au total environ 1000 garçons, et 1000 filles. Les 1000 couples auront eu en moyenne un peu moins de 2 enfants par couple.
La démonstration est facile à faire pour un matheux, mais l’explication « littéraire » est plus intéressante me semble-t-il…
Tout le problème est de ne pas confondre « population totale » et « famille de N enfants »…
Dans les familles de N enfants (avec N>2) il y a forcément plus de filles… (FFG ou FFFG ou FFFFG ou FFFFFFFFFFFF pour les guignards ! 🙂 ) ce qui pourrait faire penser à un excès de filles au total.
Mais dans la population totale, il y aura le même nombre de filles et de garçons car à chaque tirage, SEULS ceux qui n’ont pas eu de garçon au tirage précédent peuvent rejouer, toujours avec une probabilité de 50% d’avoir un G ou une F…
On voit bien que pour une population de 100 familles le premier tirage donne 50G et 50F, le second tirage donne 25G et 25F (puisque seuls les 50 qui ont eu F au premier tirage peuvent rejouer), le troisième tirage donne 12,5G et 12,5F etc…
On a donc bien toujours le même nombre de G et de F.
Car la « population totale » n’est pas faite QUE de « familles de N enfants » !
(Et le fait que certains s’arrêtent sans avoir fait de G ne change rien au problème… Au dernier tirage auquel ils ont participé ils ont généré du 50/50, et au tirage suivant ils ne jouent pas…)
2 remarques pour finir :
– J’emploie évidemment le mot « tirage » dans un sens purement mathématique.
– Les 12,5 G et F sont purement théoriques, je ne voudrais surtout pas (re)lancer une polémique sur le Genre !…
Yep, en une phrase on pourrait dire : que les individus qui le peuvent choisissent ou non de se reproduire encore une fois, on ajoute toujours le même nombre de filles et de garçons à l’étape suivante…ce qui fait que la proportion filles-garçons reste rigoureusement la même.
On peut le dire de plein de façons… Le résultat est toujours le même… 🙂
Le nombre de filles et de garçons reste identique à terme.
Empiriquement.
La moitié des naissances seront donc des garçons (1er enfant).
Considérons que les familles qui ont une fille continuent à procréer.
Les suites suivantes seront toujours égales à 50% de garçons et de filles. Et ce, indéfiniment.
En résumé, cette loi en Chinde n’aura eu aucun effet sur l’équilibre garçons et filles mais limitera de facto le nombre de filles et par là même la croissance démographique.
Jouable comme raisonnement ?
J’ai pu lire des choses similaires à ce que je vais dire mais bon…
Si on prend X variable aléatoire associée au nombre de fille dans la famille, on aura : X qui prendra les valeurs {0,1,2,3,…,n-1} , n-1 tendant vers l’infini, bien que l’âge de procréation maximum d’une femme ne soit pas infini 😀
P(X=0) = 0.5
P(X=1) = 0.25
P(X=2) = 0.125
De là on peut calculer l’espérance mathématique d’avoir une fille par la relation:
E(X)=0 * P(X=0) + 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) + 3 * P(X=3) + … + n * P(X=n)
Pour n = 5, E(X)= 0.89
En prenant compte des calculs précédents qui donnent 2 enfants par couple en moyenne, 100 couples donneront naissance à 89 filles et 111 garçons, plus n est grand, plus le ratio tend vers 1 fille pour 1 garçon en moyenne par couple.
Donc cette solution de garçon unique n’est pas satisfaisante sur le point de vue démographique.
Sauf si bien sûr mes calculs sont faux
Sauf que X ne suit pas une loi aussi simple, vous oubliez d’introduire le facteur 0<c<1 qu'un couple s'arrête de procréer et qui fait par exemple que P(X=1) vaut c/2+(1-c)/4 (probabilité d'avoir une fille et de s'arrêter là + probabilité d'avoir une fille et un garçon)
En termes d'arbres on est à trois branches à chaque étape ce qui complique nettement et inutilement les choses pour se lancer dans des calculs d'espérance sur le nombre de filles et de garçons…le raisonnement d'Alex est de loin le meilleur et surtout le seul juste.
Et c’est encore en supposant que la probabilité c de s’arrêter de procréer ne change pas à chaque étape ce qui est loin d’être acquis…bref introduire des va X et Y sur le nombre de filles et de garçons pour en calculer l’espérance est se compliquer beaucoup la vie…
Toto, relisez ce que j’ai écrit : les couples qui s’arrêtent de jouer n’ont aucune incidence sur le résultat…
S’ils arrêtent, ils ne changent rien au résultat des autres (50/50), et s’ils continuent ils font comme les autres (50/50)
Je suis bien conscient de cette omission, mais je propose cette solution qui permet au moins de rendre compte que si les couples continue jusqu’à avoir un garçon, le ratio 1/1 ne sera jamais atteint
mince continuent…
Je viens de voir le raisonnement d’alex qui me semble effectivement simple et correct :'(
Le ratio 1/1 est toujours atteint, dès le début et même en considérant que les couples continuent de se reproduire systématiquement après chaque fille.
Si vous n’êtes pas convaincu regardez l’exemple suivant. Partons d’une population normalisée en base 100.
Etape 1 :
-tous les couples procréent, on obtient 50 F et 50 G.
Etape 2 :
-si tous les couples ayant obtenu F à l’étape 1 choisissent de se reproduire, on ajoutera 25 F et 25 G aux 50 F et 50 G de l’étape 1. Total 75 F et 75 G : parité respectée.
(Si mettons seuls 10 couples à F choisissent de se reproduire à l’étape 2, on ajoute 5 F et 5 G aux 50 F et aux 50 G de l’étape 1 : la proportion fille-garçon est toujours respectée; quelque soit le nombre de couples qui continuent)
-Etape 3 : nos 25 couples à double F peuvent encore choisir de se reproduire ou non, et d’ajouter le même nombre de filles et de garçons aux 75F et aux 75G obtenus à l’issue des étapes 1 et 2.
-etc…
Si on retire :
Ceux qui donnent une mauvaise réponse, quelle que soit la sophistication ou pas du raisonnement,
Ceux qui donnent une bonne réponse sans expliquer comment (sachant qu’ici on est proche du QCM)
Ceux qui partent sur des considérations étrangères à l’énoncé
Ceux qui profitent du blog pour faire « Coucou ! »
Eh ben, y’a du déchet.
Déchet dont votre brillant commentaire fait partie…
Il y a trop de variables pour être sûr du résultat…
pourrait on avoir la reponse exacte, ou les stats des 2 pays cités ?
Plus de garçons (très légèrement).
Les calculs donnant 50% garçons/filles sont mathématiquement justes, mais oublient les naissances multiples.
En cas de jumeaux garçons, on a un léger excédent dans ce sens.
En cas de jumelles, les parents peuvent réessayer, et on peut donc classer ce cas dans celui de familles ayant plusieurs filles.
Perdu, même en supposant l’existence de jumeaux la proportion ne bouge pas en faveur des garçons…(ou du moins elle sera rééquilibrée à terme par les jumeaux filles)
A l’étape n, les x couples ayant eu une fille et ayant choisi de se reproduire ajoutent à l’étape n+1 x/2 filles et x/2 garçons au total de filles et de garçons. Qu’il y ait finalement x/2 +1 garçons à l’arrivée ne change rien en tenant compte du fait qu’il y aura aussi régulièrement x/2 + 1 filles. Les garçons supplémentaires seront compensés par les filles supplémentaires sans que cela n’ouvre plus de droits à la procréation pour les parents de jumelles !
Le cas litigieux : les faux-jumeaux mais là le modèle ne permet pas de trancher !
Si on estime que le nombre de naissances gémellaires uniquement masculines sont égales au nombre de naissances gémellaires uniquement féminines, ça s’équilibre. Ce qui serait logique en Chinde.
On se retrouverait avec 50% de chance d’avoir 2 garçons et 50% de chance d’avoir deux filles.
Je tente ma chance en prenant le problème par le coté.
Chaque année, il y a autant de naissance de G que de F.
Mais qui a le droit de procréer ?
-Les primo-géniteurs: ils auront autant de F que de G.
-Les géniteurs ayant déjà eu une F qui peuvent ou non décider de procréer, c’est leur choix.
À une année donnée vous aurez autant de filles que de garçons. Chacun de ces enfants aura pu être précédé par une fille, jamais par un garçon.
Donc à terme, il y a plus de filles.
Ne manque t il pas une donnée essentielle à savoir la proportion de familles qui a arrêté de procréer avant d’avoir un garcon ?
Cette donnée ne change rien : quelque soit la motivation pour avoir ou non l’enfant supplémentaire, on aura toujours 50/50 dans la génération d’enfants supplémentaires.
Pour ma part, je vais faire mon propre recensement plutôt que de me lancer dans des formules de probabilités.
Prenons une population initiale, avant la loi de 200. Avant la loi, cette population est forcément paritaire soit 100 femmes et 100 hommes. Je noterai F pour femmes ou filles et H pour homme ou garçon.
Nous avons donc 100 couples. Pour simplifier, on va imaginer que chaque couple a au moins 1 enfant.
Tous les couples n’auront pas le même nombre d’enfants :
50 au moins auront un seul enfant (ceux qui ont eu un garçon) à cause de la loi mais certains s’arrêteront aussi à une fille.
Evaluons le nombre de familles par nombre d’enfants.
rang 1 :60 couples avec 1 enfant (50 couples ayant eu 1 garçon et 10 s’arrêtant à 1 fille) il reste 40 couples ;
rang 2 :24 couples avec 2 enfants (20 couples ayant eu 1 garçon et 4 s’arrêtant avec 2 filles) il reste 16 couples ;
rang 3 :10 couples avec 3 enfants (8 couples ayant eu 1 garçon et 2 s’arrêtant à 3 filles) il reste 6 couples ;
rang 4 :4 couples avec 4 enfants ( 3 couples ayant eu 1 garçon et 1 s’arrêtant à 4 filles) il reste 2 couples ;
rang 5 :2 couples avec 5 enfants (1 couple ayant eu 1 garçon et le dernier s’arrêtant à 5 filles).
Soit en nombre d’enfants :
rang 1 : 50H + 10F ;
rang 2 : le premier enfant est forcément une fille on a donc 24F et pour les seconds 20H et 4F ;
rang 3 : même raisonnement, les 2 premiers enfants sont des filles soit 20F, pour les troisièmes 8H et 2F
rang 4 : 12F pour les 3 premiers enfants, 3H et 1F pour les quatrièmes enfants
rang 5 : 8F pour les 4 premiers enfants, 1H et 1F pour les cinquièmes enfants.
Soit au total F=100+10+4+2+1+1=118 F
et H=100+50+20+3+1=174 G.
Il y a donc plus de garçons.
C’est contre intuitif car l’énoncé parle de parité à la naissance et de familles avec plusieurs filles. C’est cependant logique car la loi crée une dyssimétrie : les couples ayant une fille peuvent retenter leur chance, ceux ayant un garçon non.
Ainsi, avoir une fille offre une chance de rétablir la parité avec un garçon mais avoir un garçon interdit de rétablir la parité avec une fille.
Et donc il y a forcément plus de garçons.
CQFD.
Euh je suis fatigué, car je ne sais plus additionner et j’ai oublié les premiers enfants dans le total des filles… et le rang 3 pour les garçons…
on a en fait 182 femmes et 182 hommes et donc la parité.
Bonjour, ma réponse à déjà été donnée :
Il y a forcément plus de filles pour les raisons suivantes: on peut voir dans les commentaires précédents tout un tas de démonstration ou simulation donnant pour résultat 50/50 lorsqu’on considère que le dernier enfant est systématiquement un garçon. Hors l’intitulé rappelle que les familles peuvent s’arrêter avec uniquement des filles, donc l’équilibre est rompu.
Toujours à propos de l’énoncé, il est bien demandé qui sont les plus nombreux entre garçon et fille et pas une statistique exactement démontrée.
Ca me parait effectivement etre la bonne reponse
Faux :
Quelque soit le motif d’arrêt, chaque naissance sera à 50/50.
Faisons simple :
F G
10 000 procréations 5000 5000
F > 5 000 procréations 2500 2500
F > 2 000 procréations 1000 1000
F > 500 procréations 250 250
etc, etc…
totaux 8750 8750
on peur ignorer les « primoprocréants » à partir de la deuxième génération qui ne feront que répéter ce même tableau.
Prenons 100 famille
Annee 1 50 g et 50 f
Annee 2 ceux quiont eu 1 g arrete donc 25 g et 25 f
Annee 3 meme raisonnement 12, 5 g et 12, 5 f
Etc
Toujours autant de fille que de g
Le fait que certains couples arretent sur la naissance d une fille ne change rien puisque ceux qui restent donneront naissance a parts egales a des g et des f
le problème est qu’il n’y a pas que les statistiques, il y a l’échographie.
si c’est un garçon, la grossesse se poursuit.
si c’est une fille, le couple a le choix : poursuite ou arrêt de la grossesse.
donc il y a un déficit de 60 millions de femmes en chine.
Jean Seyberling m’a convaincu : annee 1 = 50/50, reste 50. Annee 2 = 25/25, reste 25, etc. Soit au final la parité.
Pour régler une enigme de proba, il faut parfois inverser le problème.
Quelle probabilité est associée aux cas de figures qui sont exclus par l’énoncé?
Ici toutes les combinaisons de fratrie à 2 garçons (et plus) sont exclus….mouai, je ne suis plus si sur du coup….
en tout cas, c’est 0 grand frère !
Réponse: plus de garçons que de filles.
Mon raisonnement. D’abord, je simplifie le problème (P) en supposant que les parents continuent d’engendrer jusqu’à l’obtention d’un garçon. Ce nouveau problème, je le note (P’).
Proposition 1: Dans (P’), la population des enfants converge vers une égale répartition de garçons/filles.
Remarquons que cette proposition entraîne naturellement que pour (P), la tendance sera à plus de garçons que de filles, puisque maintenant les parents peuvent arrêter d’engendrer bien avant l’obtention d’un garçon.
Preuve de Proposition 1:
Chaque couple engendre une suite F…FG avec F pour fille et G pour garçon. Je note la variable aléatoire X avec n -> X=F…FG. Je note l(X) la longueur. C’est aussi une variable aléatoire. On voit que l(X)=n si et seulement si on a (n-1) fille et 1 garçon.
Et la loi est P(l(X)=n)=1/2^n.
Pour démontrer Proposition 1, il suffit donc de montrer que son espérance (notée E) est égale à 2 (soit une fille et un garçon).
On a E= Sum_{n\geq 1} n/2^{n}=1/2Sum_{n\geq 1} n/2^{n-1}=1/2 f^{‘}(1/2}
où f^{‘} est la dérivée de f définie par f(z)=\sum z^{n}. Il est classique que f(z)=1/(1-z) pour |z|<1 et on peut en déduire que f^{'}(z)=1/(1-z)^2. Donc E=2. CQFD
Rectification: « plus de filles que de garçons. » au lieu de « plus de garçons que de filles. » et « Remarquons que cette proposition entraîne naturellement que pour (P), la tendance sera à plus de filles que de garçons » au lieu de « Remarquons que cette proposition entraîne naturellement que pour (P), la tendance sera à plus de garçons que de filles ». Désolé, j’étais mal réveillé. 🙂
Désespérant!
La réponse est qu’il y aura plus de filles que de garçons, naturellement.
Même chances d’avoir une seule fille ou un seul garçon
Des chances d’avoir plusieurs filles et aucun ou un seul garçon
Aucune chance d’avoir plusieurs garçons
Non maisbcp de familles peuvent avoir un seul garcon et 0 fille ….
Ce n’est pas si desesperant malheureusement.
Il y aura effectivement plus de filles possiblement mais pas pour la raison que vous donnez
2021
Les créationnistes américains se divisent sur une épineuse question : le premier homme portait-il ou non des caleçons ?
Et moi je dirais… Plus de filles quand même.
Première génération: 50/50
Deuxième génération pour ceux qui n’ont pas eu de garçon à la première :50/50
Troisième: 50/50
etc…
Donc on devrait avoir 50/50.
MAIS
Certaines familles vont s’arrêter au bout de deux ou trois filles!
Donc il y aura des familles de filles non compensées!
Donc je dirais un excès de filles 🙂
Bonjour,
Je propose la solution suivante :
La 1ère génération produit autant de filles que de garçons.
La 2ème génération produit autant de filles que de garçons : il se trouve que seuls les couples ayant eu une fille participent éventuellement (ils peuvent s’abstenir) à la procréation de cette nouvelle génération, mais ça ne change rien à la proportion de filles et de garçons issus de cette nouvelle génération, qui est la même : 1/2.
La proportion de filles et de garçons issus de chaque génération est toujours la même : 1/2 ; la proportion de filles et de garçons de toutes les générations est également la même : 1/2.
Cordialement,
JM
50/50 car les parents qui ont un enfant de plus après avoir eu des filles ont toujours 50% de chance d’avoir un garçon ou une fille.
En revanche l’énoncé oublie de préciser que les proba sont indépendantes, dans la réalité si l’on a eu déjà 2 filles, il y a 70% de chance que le troisième soit une fille.
Donc en réalité quand bien même la probabilité d’avoir une fille est de 50%, il y aura plus de filles en Chinde car plus on a de filles plus on a de chance d’en avoir d’autres.
Le mot fratrie dans mon premier message était peut être mal choisi.
Au final, il y aura parité parce que:
1ère série de naissances : 50%G, 50%F
2e série de naissances: 50%G, 50%F (quel que soit le nombre de couple ayant décidé de continuer à procréer)
3e série de naissances: 50%G, 50%F (quel que soit le nombre de couples ayant décidé de continuer à procréer)
Etc.
Toutes les autres données ne sont pas utiles pour le calcul de la parité parmi ces naissances.
Tout dépend de la proportion de familles qui arrêtent de procréer.
En imaginant qu’aucune famille n’arrête de procréer, la proportion de garçons est plus importante. Démonstration:
50% pour une famille avec 1 garçon
25 % 1G 1F
12.5% 1G 2F
6.25% 1G 3F
…
La proportion de garçons est donc:
1 x 50%
1/2 x 25%
1/3 x 12.5%
1/4 x 6.25%…
La proportions de filles est :
0 x 50%
1/2 x 25%
2/3 x 12.5%
3/4 x 6.25%
…
la proportion totale de garçons est donc:
Somme 1/n/2^n
Celle des filles:
Somme (n-1)/n/2^n
Le premier terme de la somme des garçons est 0.5, donc la somme est supérieure à 0.5, ce qui signifie qu’il y a plus de garçons (on peut remarquer que la somme des deux sommes vaut: somme 1/2^n qui vaut 1)
Les garçons seront donc plus nombreux, et ils le resteront sauf si toutes les familles s’arrêtent après la première fille.
Vous avez tout faux dès le début. Vous oubliez complètement le cas des familles F, FF, FFF, etc, partant tout votre modèle est faux.
« En imaginant qu’aucune famille n’arrête de procréer » : ce n’est pas ce qui est écrit dans l’énoncé, et même dans ce cas la proportion de filles et de garçons ne varie pas. Cf plus haut…
Oublier les familles F only est effectivement mon hypothèse de départ…
Prouver que la population de garçons/fille avec cette hypothèse est déséquilibrée aurait pu permettre de réponder à la question. Malheureusement, il y a une erreur de calcul
Bon, on va tenter quelque chose.
*première naissance: 50% G, 50% F
*seconde naissance : ne sont concerné que
ceux qui ont une fille (donc seulement 50% du départ) et qui décident de faire un 2e enfant.
Je suis désolé de ne pas être d’accord avec la majorité………
On peut pour simplifier , diviser la population en 3 groupes :
– ceux qui ne peuvent avoir que des G
– ceux qui ne peuvent avoir que des filles
– ceux qui peuvent avoir G ou F
La seule hypothèse étant que si tous les couples ont 1 enfant , on a G = F
A la 1° naissance , on a donc G = F.
A la 2° naissance , ceux qui ne peuvent faire que des G ne comptent plus : on a donc une majorité de F.
Idem aux générations suivantes.
Au total on aura plus de F que de G
Qu’en pensez vous ?
Oui mais vous modifiez le problème :
L’énoncé dit que la probabilité de mettre au monde un garçon ou une fille est identique.
Or là vous vous contentez de l’énoncé la probabilité, moyennée sur l’ensemble des couples, de mettre au monde un garçon ou une fille est identique.
Une petite démonstration par récurrence. Pour simplifier un suppose que les couples procréent éventuellement une fois par an : ça ne change rien mais ça permet de fixer les idées, l’indice de récurrence = numéro de l’année.
à l’année N, il y a Xn couples sans garçon et désireux de procréer.
il y a Fn filles et Gn garçons engendrés au cours des années précédentes.
l’écart filles/ garçons est En = Fn-Gn
durant l’année N, Xn/2 garçons et Xn/2 filles sont nés
Xn+1 infini)
Fn+1 = Fn + Xn/2
Gn+1= Gn + Xn/2
En+1 = Fn-Gn = En.
D’où pour tout n, En+1 = En = E0 ;
Or comme G0 =F0=0, E0 =0 .
L’écart filel/garçon est bien nul , non seulement à la fin du processus (fin des temps?) mais aussi à chaque étape (année).
Une façon bien compliquée de démontrer une évidence. …
remplacer ‘Xn+1 infini)’ par
Xn+1< Xn/2 (on voit bien que Xn tend vers 0 quand n tend vers l'infini)
50/50 À chaque enfant il y a 50% de probabilité d’avoir un garçon (et d’être forcé de s’arrêter mais ce n’est pas important car c’est la probabilité d’avoir une fille ou un garçon à chaque grossesse et non par famille qui compte).
C’est comme la roulette. En théorie, il y a 50% de chance pour noir et rouge à chaque coup. Si vous prenez un million de coups, cela tendra vers 50/50.
Autant j’ai été convaincu par le raisonnement mathématique qu’il y aurait autant de filles que de garçons, autant l’application de ce résultat à ce qui s’est passé en Chine me perturbe beaucoup.
Merci à l’auteur dans sa réponse d’aborder ce point, car on sait bien qu’en Chine, il y a plus de garçons que de filles avec une règle similaire (en tout cas qui, il me semble, ne donnerait pas plus de garçons que la règle présentée ici).
J’avais toujours eu en tête que c’était cette règle qui expliquait le surcroît de garçons … et en fait, non ?????
Donc la conclusion qui me dérange serait que le fait, constaté, qu’il y a un surplus de garçons anormal en Chine (et en Inde), ne tiendrait pas directement à la politique de l’enfant unique mais aux comportements des gens (et du planning familial), certes en partie dûs ou accentués par cette règle : avortements ciblés, voire meurtres …
Ai-je raison d’être troublé ?
Effectivement des filles sont supprimées à la naissance (ou maintenant avant…) car moins rentables.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Infanticide
r1 : 100 couple 50 G 50F
=> reste 50 couples dont 40 procréent
r2 : 40 couples 20 G 20F total : 70G 70F
=> reste 20 couples dont 16 procréent
r3 : 16 couples 8G 8F total 78G 78F
=> reste 8 couple dont 6 procréent
r4 : 6 couples 3G 3F total 81G 81F etc….
Autant de filles que de garçons qque soit les couples qui restent en « piste » (j’ai choisi de manière arbitraire mais de façon empirique ça marche tout le temps)
Intuitivement j’aurais dit plus de fille…
Plus de garçons ou plus de filles ?
Les 2 mon capitaine !
Imaginons que la Chinde compte 100 couples qui ont chacun l’envie furieuse de procréer.
Au bout de quelques temps, 50 couples donnent naissance à un garçon. Ils ne pourront plus enfanter, et devront désormais se contenter de faire l’amour juste pour le plaisir, vous imaginez la galère.
50 couples donnent naissance à une fille.
Mais parmi ses derniers couples, 49 pensent que l’idée de ne faire l’amour que pour le plaisir est un concept intéressant. Ils décident d’arrêter de procréer au mépris des lois sur l’équilibre financier des caisses de retraites. Bravo la mentalité !
A ce stade la Chinde compte 100 couples + 50 garçons + 50 filles.
Le dénouement de l’histoire va donc dépendre de notre dernier petit couple, celui qui coûte que coûte veut un garçon (ce couple a déjà une fille).
– Si le 2ème enfant de ce couple est un garçon, la Chinde comptera (hors adultes) 50 garçons + 50 filles + 1 garçon, donc plus de garçons que de filles.
– Si le 2ème enfant est une fille et le 3ème un garçon, la Chinde comptera 50 garçons + 50 filles + 1 fille + 1 garçon, donc autant de filles que de garçons.
– Si les 2ème et 3ème enfants sont des filles et le 4ème enfant un garçon, la Chinde comptera 50 garçons + 50 filles + 1 fille + 1 fille + 1 garçon, donc plus de filles que de garçons.
La moralité c’est qu’en matière de natalité les politiques peuvent bien pondre des lois abracadabrantesques, au final c’est la nature qui décide.
(Sinon je lis les propositions des uns et des autres, notamment ceux qui parient sur l’égalité du nombre F-G. Pour ma part je pense qu’il y a un problème si le nombre de couples décidant de procréer devient impair. Non ? On ne peut pas se contenter d’ignorer le nombre de parents d’une ou plusieurs filles qui décident de ne plus enfanter. Enfin moi je dis ça mais mes cours de maths sont loin derrière moi)
exact oublier les nombres impairs et un impair…
donc en cas de nombre impair ça ferait +/-1 par rang par parents qui font l’amour « utile »….
désolé pour le français vite fait mal fait…
Bravo pour cette énigme, elle vaut surtout par les 155 réponses que je viens de lire, un vrai feu d’artifice.
ça démontre bien que le cerveau humain est tout sauf mathématique, que la raison est constamment perturbée par des tas de considérants qui n’ont rien à y faire, que l’exercice de démonstration mathématique est bien peu compris.
Je vais essayer de trier toutes ces mauvaises réponses, de comprendre pourquoi tant de fausses pistes, et de classifier tout ça. 155 commentaires c’est déjà une belle base de travail. et ça fait… réfléchir.
et bien sûr on trouve ce même feu d’artifice sur tous les sujets, sociaux, politiques et personnels auxquels chacun est confronté.
L’intérêt de faire s’exprimer tant de gens sur un sujet statistique c’est que la bonne réponse est indiscutable, et que donc les errements intellectuels le sont tout autant.
Bien évidemment ça se rapproche des 50/50, chaque tirage étant indépendant ( et il n’y a pas de grattage dans l’énoncé), donc plus on est dans les grands nombres et plus l’écart probable avec la valeur théorique de 50/50 est faible.
Dans le même genre de contre intuition que provoque les statistiques on a aussi le simple tirage du loto, ou beaucoup restent convaincus que le 14 qui est moins sorti que les autres va forcément apparaître plus souvent dorénavant. Et impossible de faire bouger celui qui est entrer dans cette conviction. 🙂
L’exercice fait avec une feuille excell montre qu’il y a à la fin autant de filles que de garçons. Pourquoi? tout simplement parce que les règles de la nature sont têtues, il née autant de filles que de garçons et ce n’est pas le critère de décision décidant qu’on arrête de faire des enfants qui influe sur la probabilité d’avoir une fille ou un garçon. Arrêter de faire des enfants parce que on a eu un garçon n’influe que sur la taille de la population globale des enfants, c’est tout.
Salut Philemon. Peux-tu stp m’envoyer ton fichier excel car j’arrive moi, avec aussi un fichier excel, que sur 500 familles ayant au max 10 enfants, à la conclusion qu’il’ y a environ 2/3 de filles pour 1/3 de garçons. Donc majorité évidente de filles!
A ceux qui sont convaincus qu’i’ y a 50% de garçons et 50% de filles car led tirages sont indépendants, je réponds qu’ils ont tort.
En effet, tirages indépendants signifient que le tirage n ne dépend pas pas de n-1. Hors dans l’énoncé, le nouveau tirage dépend du résultat de de n, à savoir est-ce que à à n j’ai eu une fille ou un garçon.
Bref, je ne suis pas arrivé par des formules à démontrer qu’il y a égalité filles/ garçons mais je suis prêt à partager monf ichier excel montrant (et non démontrant) qu’il y a plus de filles qie de garçons.
Au plaisir de recevoir vos commentaires et de partaget mon excel (500 familles, 10 enfants max).
Et en France ?
Comme cela a déjà été dit par de nombreux commentateurs, en Chinde la proportion de filles et de garçons sera 50/50 parce qu’une femme qui a eu 3 fille et pas de garçon a toujours 50 % de chances d’avoir un garçon pour quatrième enfant.
Mais que donnerait cette loi dans un pays comme la France, où il naît un peu plus de garçons que de filles et où les femmes vivent plus longtemps que les hommes ? On aurait certes moins de naissances mais qu’en serait-il du rapport homme/femme à chaque âge ? Et bien, il serait curieusement inchangé puisqu’à la naissance le rapport garçon/fille serait inchangé.
J’ai fait abstraction de l’immigration dans mon raisonnement. Si on veut s’en affranchir, le plus simple est de réfléchir à ce qu’une telle loi donnerait au niveau mondial et non pas au niveau de la France.
Le fait de choisir la Chinde au lieu du Monde, paraît simplifier le problème mais il le complique dans la pratique car il conduit les gens à faire des calculs au lieu de faire des raisonnements, à faire des calculs au lieu de faire des mathématiques.
Bonjour,
Ma tentative de réponse: il y a autant de chance que le nombre de filles ait dépassé celui des garçons que le contraire.
Au moment du recensement, dans le cadre de ce fonctionnement binaire « fille ou garçon », on a trois résultats possibles:
– plus de garçons que de filles x
– plus de filles que de garçons y
– autant de filles que garçons z
On ne nous demande pas ici de calculer la probabilité de z, mais si la probabilité de y est supérieure ou inférieure à la probabilité de x.
Dans la plupart des réponses ci-dessus on a présenté « z » comme le seul résultat possible, mais si on part du résultat du recensement, on obtient un nombre entier (pas de décimale d’enfant) fini « r », ou « nombre total de filles et de garçons en Chinde au moment du recensement », qui est égal à la somme de deux nombres entiers finis, total des filles « f » et total des garçons « g », tel que f+g=r.
« r » peut être pair ou impair. S’il est impair, alors f ne peut être égal à g, donc probabilité de « x ou y »>0.
Maintenant à chaque naissance, on a la même probabilité d’obtenir une fille ou un garçon, on a donc une tendance à l’équilibre (démontrée de bien des façons par les tentatives de réponse qui se concentraient sur z) qui donne probabilité de y=probabilité de x.
Au final, peut-on avoir la réponse claire et définitive de l’auteur ?
Merci !
Hello, j’ai vu la réponse de l’auteur sur twitter, ça tend vers l’égalité.
Quand on sait que l’esprit critique sert a critiquer, on comprend l’intérêt de cet artcile, mais ne serait-il pas préférable, qu’il permette de remettre en cause le système actuel ?
Ne pensez vous pas qu’il serais plus critique de compter le nombre de paysans qui se suicident au r***-up ?
Ou alors, pourquoi un pays en croissance souffre autant ?
Peut- être qu’il vaut mieux continuer de râler sur la condition féminine, qui d’ailleurs, étais bien meilleur en indes le siècle dernier…
http://www.firstpost.com/india/rural-india-is-in-transition-but-why-bother-its-not-about-politics-963401.html
https://books.google.fr/books?id=A5LiM-BR1EsC&pg=PA2&lpg=PA2&dq=economic+change+in+rural+india&source=bl&ots=jYc7Veavu7&sig=eSuXei2KAAlY3OAUV2M0vGWk2Vo&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwi–9fw_aHLAhWCXhoKHWgYBSEQ6AEIQzAE#v=onepage&q=economic%20change%20in%20rural%20india&f=false
http://ceriscope.sciences-po.fr/pauvrete/content/part3/la-pauvrete-en-inde-une-bombe-a-retardement?page=6
peu importe le comment et le pourquoi de l’arrêt, pour embrouiller le monde il aurait justement fallu donner une loi, ici on peut juste constater qu’il y aura un certain nombre de procréation avec à chaque fois une probabilité 50/50 fille/garçon. Le nombre de filles et de garçons va dépendre de la condition d’arrêt mais à tout moment il y aura donc statistiquement parlant, autant de filles que de garçons.
Et comment modélisez-vous la décision d’arrêter d’avoir ou non un enfant quand une famille n’a eu que des filles ? Par une loi de Bernouilli ? De quel paramètre ? Cette loi dépend-elle du nombre de filles déjà nées ?
L’énoncé est bien trop incomplet pour qu’on puisse conclure.
En revanche, si on suppose qu’on impose en plus aux familles d’avoir un fils à coup sûr, alors la proportion de garçons parmi les naissances est 1/2, qui est l’inverse de l’espérance d’une loi géométrique de paramètre 1/2.
Dans ce cas, l’énoncé du problème est complet et conduit à une solution.
Pour l’ensemble des couples qui ont réussi à concevoir au moins 1 enfant, la première naissance a autant de chances de donner un garçon qu’une fille. Donc 50/50 chez les aînés de fratrie.
Pour ceux qui ont une aînée fille, qui ont essayé et réussi à avoir un 2e enfant, idem, 50/50 dans le groupe des 2e.
… Idem dans le groupe des 3e de fratrie
… Idem pour les 4e, 5e, …
L’ensemble des enfants est la somme des aînés, des 2e, 3e, … Chaque groupe étant statistiquement constitué à part égale de garçons et de filles.
Donc l’ensemble est aussi statistiquement 50/50 garçons/filles.
nice artical