[solution] Curio-carré (+ deux défis mathématiques pour les furieux)

Attention ! Ce billet donne la solution au jeu publié le 19 octobre  ! Essayez de le résoudre avant de lire le texte qui suit, ne vous privez pas du plaisir de la découverte !

Vous deviez trouver au moins une façon de remplir un carré 3×3 selon la méthode édictée ici :

  • premièrement, on inscrit dans deux cases différentes de son choix les chiffres « 1 » et « 2 » ;
  • la grille se remplira par la suite ligne après ligne, de gauche à droite et de haut en bas, en commençant par la première case vide ;
  • pour déterminer le chiffre à inscrire dans chaque case vide, on fait la somme des chiffres présents dans les cases avoisinantes déjà remplies. Mais dès que cette somme dépasse 2, on reprend le compte à 0 (autrement dit, on compte en base 3 en ne conservant que la première unité) :
    • ainsi, 2 + 2 = 1, 2 + 2+ 1 = 2, 1 + 2 = 0… Un total de 8 (3 x 2 + 2) donnera 2, un total de 16 (3 x 5 + 1) donnera 1 ;
    • on désigne par « case voisine » les cases situées immédiatement au-dessus, au-dessous, à droite, à gauche, et en diagonale de la case que l’on cherche à remplir. La case centrale de la grille a ainsi huit voisines ;
    • si, au commencement, les cases voisines de la première case vide sont vides elles aussi, on inscrira 0.

Il existe six solutions (les trouver toutes était l’objet du « superdéfi »).

Dans chacun des trois cas suivants, il suffit de remplacer 🇦️ par 1 ou 2, et 🇧️ par le second chiffre. Le symbole

⬜⬜🇦️
⬜⬜⬜
⬜⬜🇧️

⬜⬜🇦️
⬜⬜⬜
⬜🇧️⬜

⬜⬜⬜
🇦⬜️🇧️ *
⬜⬜⬜

 

Ce qui donne :

0⃣1⃣1⃣
1⃣2⃣0⃣
0⃣2⃣2⃣

0⃣2⃣2⃣
2⃣1⃣0⃣
0⃣1⃣1⃣

0⃣1⃣1⃣
0⃣1⃣2⃣
0⃣2⃣2⃣

0⃣2⃣2⃣
0⃣2⃣1⃣
0⃣1⃣1⃣

1⃣1⃣0⃣
1⃣2⃣2⃣
0⃣2⃣0⃣

2⃣2⃣0⃣
2⃣1⃣1⃣
0⃣1⃣0⃣

Et voilà !

(* il y avait une coquille, que Nono a bienheureusement repérée et corrigée, merci à lui !)

😏

Mais les plus vaillants souhaitent peut-être se triturer un peu plus la cervelle… Aussi lancerais-je deux défis aux mathématiciens de passage par ce blog.

😼 Le premier s’énonce très simplement :

Expliquez pourquoi, dans le cas du curio-carré 3×3, intervertir le 1 et le 2 initial (A et B) ne change pas le résultat ?

😼 Le second défi est en revanche un satané problème mathématique, aussi futile qu’épineux. Ne vous lancez pas là dedans sans de solides bretelles (c’est certainement l’idéal pour un étudiant en prépa qui chercherait à suer au point de s’éponger au papier buvard).

Voici l’énoncé :

Soit une grille carrée comportant 6×6 cases. Elle se remplit selon les règles suivantes :

  • Premièrement, on inscrit dans deux cases différentes de son choix les chiffres « 1 » et « 2 ».
  • La grille se remplira par la suite ligne après ligne, en commençant par la première case vide en haut à gauche (plus précisément : ligne après ligne, de gauche à droite et de haut en bas).
  • Pour déterminer le chiffre à inscrire dans chaque case vide, on fait la somme des chiffres présents dans les cases avoisinantes déjà remplies. Puis, on en fait le modulo 3. Autrement dit : si la somme est égale à 3 (3×1+0), le chiffre à inscrire sera 0. Si la somme est 8 (3×2+2), on inscrira 2. Si la somme est 16 (3×5+1), on inscrira 1.
  • Si, au commencement, les cases au voisinage la première case sont vides, on inscrira 0.
  • On désigne par « case avoisinante » les cases situées immédiatement au dessus, au dessous, à droite, à gauche, et en diagonale de la case que l’on cherche à remplir. Une case qui n’est pas située en périphérie de la grille a toujours huit voisines.

Trois exemples de grilles remplies. Les chiffres en rouges ont été posés en premier, avant remplissage selon le protocole décrit plus haut.

Question 1 : Est-il possible de placer les deux premiers chiffres (1 et 2) de façon à ce que, une fois la grille entièrement remplie, elle présente exactement douze « 1 », douze « 2 », et douze « 0 » ? Si oui, existe-t-il plusieurs solutions ?

La solution à la question 1 peut être trouvée de façon empirique, notamment en réalisant un programme informatique ; z’avez le droit, hein… Mais une fois la chose faite, et parce que c’est un problème, présentez-plutôt une démonstration mathématique rigoureuse de la possibilité ou de l’impossibilité de la chose.

Question 2a : Si la réponse à la question 1 est « oui », est-il toujours possible de résoudre une grille carrée de taille 3nx3n (9×9, 12×12…) en suivant les règles présentées, en obtenant une même proportion de 1, de 2 et de 0 ?

Question 2b : Si la réponse à la question 1 est « non », pouvez-vous proposer une autre méthode de remplissage (à la place du « ligne après ligne, de gauche à droite et de haut en bas ») permettant d’arriver à nos fins ? (par exemple : un remplissage en sautant une case sur deux, pour remplissage en deux temps)

Bonne chance… Il n’y a rien à gagner, sinon mon insondable admiration ! Car, vous l’aurez compris, je n’ai absolument aucune idée de la réponse à aucune de ces questions. 😜

Curiologiquement vôtre…

7 réflexions sur “[solution] Curio-carré (+ deux défis mathématiques pour les furieux)

  • 3 novembre 2015 à 21 h 24 min
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    [EUREKA – défi 1]
    Puisqu’on raisonne modulo 3, alors on peut remplacer 2 par -1 et ne raisonner qu’avec les nombres -1, 0 et 1.
    On voit donc assez facilement que si on a le même nombre de 0, 1 et -1 dans une grille, on ne change pas le résultat en inversant les 1 et les -1, mais on obtient une nouvelle grille dans laquelle on a interverti les 1 et les 2.

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    • 5 novembre 2015 à 15 h 58 min
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      Bien joué ! 🙂

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  • 4 novembre 2015 à 16 h 26 min
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    Au passage, la 3è disposition proposée en solution est erronée, le B devrait se trouver à la fin de la rangée 2, pas au milieu.

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    • 5 novembre 2015 à 15 h 57 min
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      Ah oui, tiens, bien vu. A tripatouiller les emojis plutôt que de dessiner moi-même, on voit où ça mène…

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  • 6 novembre 2015 à 13 h 16 min
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    Pour la suite, par énumération on trouve bien des solutions pour des carrés 6×6, 9×9, 12×12, 15×15 (je ne suis pas allé plus loin) :
    10 solutions pour 6×6
    12 solutions pour 9×9
    6 solutions pour 12×12
    8 solutions pour 15×15
    Pas évident de trouver un lien entre la taille du carré et le nombre de solutions.

    Pour ce qui est de la construction d’une solution, je sèche complètement…

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    • 6 novembre 2015 à 21 h 01 min
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      Je confirme les résultats de Nono, avec également 2×3 solutions pour 18×18 et 21×21.

      [SPOILER] Pour 6×6, les coordonnées des couples de solution sont:
      (6;2)(2;1)
      (5;1)(1;4)
      (4;4)(2;1)
      (4;3)(1;6)
      (4;2)(2;6)

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      • 22 novembre 2015 à 13 h 50 min
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        Je suis admiratif.
        Une machine vous a donné un coup de main, ou êtes-vous juste simplement géniaux ?

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