Nombres palindromes

Un « nombre palindrome » s’écrit de gauche à droite avec une série de chiffres identique à celle qui permet de l’écrire de droite à gauche. Par exemple, 185797581, 46664, 912535219, 77, 121, sont des nombres palindromes. A l’image des mots palindromes (kayak, ressasser…), les nombres palindromes se lisent donc « dans les deux sens ».

– Défi –

Vous devez trouver deux nombres palindromes de six chiffres remplissant toutes les conditions suivantes :

  • chacun est composé de trois chiffres distincts
  • les deux nombres n’ont aucun chiffre en commun
  • leur somme est égale à un nombre palindrome de sept chiffres qui n’a aucun chiffre en commun avec l’un ou l’autre des deux premiers nombres palindromes
  • la différence entre le plus grand nombre et le plus petit est un nombre palindrome qui s’écrit avec une série de chiffres allant croissant, puis décroissant (un nombre comme 259952 remplirait ce dernier critère, car la série 2,5,9 va en croissant)

Bonne chance ! Et comme toujours, il est beaucoup, beaucoup plus gratifiant d’aboutir à la solution sans utiliser la puissance informatique ! Allez, hop, un crayon et un coin de nappe en papier !

– Superdéfi et curiosité –

(uniquement si le défi précédent était trop facile…)

Il s’agit du même défi que le précédent, à ceci près que le quatrième point est moins restrictif ; il importe désormais simplement que « la différence entre le plus grand nombre et le plus petit soit un nombre palindrome ». Il existe alors six solutions (six paires de « nombres palindromes » de six chiffres). Identifiez ces six solutions (l’une étant l’objet du défi précédent).

Une fois ce superdéfi relevé, une curiosité se fait jour. Pour chacune des six paires, réécrivez la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs. Additionnez les six résultats, et divisez ce total par le seul chiffre [différent de zéro*] à n’être présent ni dans le palindrome à sept chiffres, ni dans aucun des palindromes à six chiffres. Surprise : c’est un nouveau nombre qui peut se lire en tout sens ! Il s’agit du produit d’un nombre palindrome à deux chiffres et d’un nombre palindrome à cinq chiffres.

Bon jeu !

* Merci à LJ ^^

DoubleSens

17 réflexions sur “Nombres palindromes

  • 30 novembre 2015 à 17 h 21 min
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    [Spoiler]
    678876 et 543345 semblent convenir :
    Somme : 1222221 (il n’est pas indiqué que les chiffres de la somme doivent être différents entre eux)
    différence : 135531

    J’ai trouvé un peu par hasard : je me suis dit que le 1er et dernier chiffre de la somme serait sûrement un 1. Ensuite j’ai pris le plus petit écart possible pour 2 chiffres dont la somme est 11 … (6-5 / 7-4 / 8-3) … et voilà ça marche …

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    • 30 novembre 2015 à 17 h 30 min
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      D’ailleurs, une fois qu’on a compris ça, pour les 6 solutions c’est relativement simple : On fait les différentes permutations de 6-7-8 dans le 1er nombre, on a donc 6 permutations possibles et le 2ème chiffre en fonction…

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      • 30 novembre 2015 à 17 h 39 min
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        En revanche pour la dernière partie, ça ne marche pas du tout
        La somme des différences fait 2 000 000 et il me reste 2 chiffres : 0 et 9 …
        – division par 0 impossible
        – la division par 9 ne fonctionne pas : même si 222222,22222…. pourrait être considéré comme palindromique, il n’est sûrement pas le produit d’un nombre à 2 chiffres et d’un nombre à 5 chiffres

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        • 30 novembre 2015 à 17 h 46 min
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          Oups … mea culpa : petite erreur de calcul … 1 999 998 ….
          divisé par 9 : 222222 : soit 11*20202 (PS : 9 n’est pas le seul chiffre à manquer, il manque aussi le 0, mais on le retrouve dans ce produit)

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  • 30 novembre 2015 à 22 h 48 min
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    autre façon de prendre le problème!

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  • 30 novembre 2015 à 23 h 13 min
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    Les câpres ne répondent pas au problème : j’ai vérifié.

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    • 1 décembre 2015 à 10 h 28 min
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      Ça me rassure, vu le mal qu’ils ont eu à pousser cette année, ces satanés boutons floraux savoureux.

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  • 30 novembre 2015 à 23 h 28 min
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    Je suis bien incapable de trouver le début d’une solution, mais j’avais posé à un de mes amis, polytechnicien, (lui appellait ça « nombres chiraires ») la question de savoir s’il y a une loi d’occurrence des nombres palindromes dans la suite des nombres. Il n’a pas su me répondre. Quelqu’un d’autre ?
    Bonne soirée

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    • 1 décembre 2015 à 3 h 25 min
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      Il a pas dû chercher bien longtemps votre ami.
      Un palindrome à 2n ou 2n-1 chiffres s’écrit X_1X_2..X_n..X_2X_1 (le X_n étant doublé pour le nombre à 2n chiffres). On a 9 choix pour X_1 (1 à 9) et 10 pour tous les autres (0 à 9), donc 9*10^(n-1) palindromes.

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  • 1 décembre 2015 à 0 h 19 min
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    Le nombre à 7 chiffres a forcément 1 aux extrémités du fait qu’il est la somme de 2 nombres à 6 chiffres :

    S = 1 x x x x x 1

    Pour cela, il faut que les extrémités des 2 nombres à 6 chiffres soient parmi les paires dont la somme des 2 éléments est 11 : (2, 9), (3, 8), (4, 7) et (5, 6)

    Ça veut dire que l’on doit avoir en 2ème position (en partant de la gauche) dans la somme soit 1 (la somme des 2 termes de la paire) soit 2 (la somme + la retenue de la 3ème position).

    Supposons S = 1 1 X X X 1 1

    Ça implique forcément que la paire de chiffres située en avant-dernière position ait une somme égale à 10 afin de tomber sur 1 (10 + retenue de la dernière position) :
    Exemple :
    N1 = 9 3 x x 3 9 , N2 = 2 7 x x 7 2
    On tombe bien sur les 2 derniers chiffres de S égal à 11, en revanche le 2ème est égal à 2, la somme n’est plus un palindrome :
    9 3 x x 3 9
    + 2 7 x x 7 2
    1 2 x x x 1 1
    Par conséquent S ne peut pas être 1 1 X X X 1 1
    Donc S = 1 2 X X X 2 1

    Ça implique à nouveau qu’en 2ème et avant-dernière position dans les nombres à 6 chiffres, on ait une paire dont la somme des 2 éléments soit 11 : (2, 9), (3, 8), (4, 7) et (5, 6)

    On peut éliminer la paire (2, 9) puisque 2 figure dans la somme

    On reprend le raisonnement précédent en avançant à l' »intérieur » de la somme:
    S = 1 2 1 X 1 2 1 ou 1 2 2 X 2 2 1
    Seul le 2ème cas est possible : S = 1 2 2 X 2 2 1
    Finalement S = 1 2 2 2 2 2 1

    Les 2 nombres à trouver sont donc une combinaison des 3 paires (3, 8), (4, 7) et (5, 6), ce qui fait 12 possibilités.
    En prenant en compte la différence des 2 nombres qui doit être un palindrome, le nombre de possibilités se réduit à 6 :

    (876678 & 345543) => Diff = 531135
    (867768 & 354453) => Diff = 513315
    (786687 & 435534) => Diff = 351153
    (768867 & 453354) => Diff = 315513
    (687786 & 534435) => Diff = 153351
    (678876 & 543345) => Diff = 135531

    Pour la somme des différences, on a 2 x (1 + 3 + 5) sur chaque position, soit 2 x 9. La somme est donc 2×9 + 2 x 9 x 10 + … 2 x 9 x 100000

    9 est le chiffre diviseur, celui qui n’est présent dans aucun des palindromes à 6 ou 7 chiffres.

    En divisant par 9, on obtient 2 + 2 x 10 + 2 x … 100000 = 222222
    soit 22 x 10101

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    • 1 décembre 2015 à 1 h 00 min
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      Tres bien ! Tres clair !

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      • 1 décembre 2015 à 10 h 29 min
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        Si vous rédigez les solutions à ma place, je n’ai plus qu’à retourner à mes câpres ^^ !

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    • 1 décembre 2015 à 11 h 20 min
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      Presque bien 🙂
      Attention toutefois, « ça implique forcément » n’est pas exact, la somme peut être égale à zéro et pas seulement à 10 (Les solutions 900009 et 200002 donnent un palindrome si on fait abstraction de la consigne « chiffres différents »)
      Et la combinaison des 3 paires donne 24 possibilités (3 possibilités parmi 6, 7 et 8 pour le premier chiffre, 4 pour le deuxième, 2 pour le troisième)

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    • 1 décembre 2015 à 22 h 36 min
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      Merci. Merci pour la correction. Désolé pour les câpres…

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  • 2 décembre 2015 à 10 h 37 min
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    Et en génétique vous avez des gènes qui sont aussi palindromes AATAGTTGATAA, Etc

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  • 4 décembre 2015 à 13 h 50 min
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    Bonjour, il y a un point qui m’echappe dans le raisonnement avec les couples (3,8), (4,7), (5,6), je ne vois pas comment on arrive si rapidement à 12 cas intéressant. Par exemple, je ne vois pas (à ce stade de la solution) comment 875578, 346643 peut être éliminé comme la somme est bien le palindrome 1222221.
    Pour ma part, j’ai triché en programmant la solution!

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